Masalah ini adalah soal optimasi yang melibatkan program linear. Kita ingin mencari keuntungan maksimum dengan batasan tertentu untuk jumlah sepatu laki-laki dan sepatu wanita. Mari kita rumuskan masalah ini:

Diberikan:

• $x$: Banyaknya sepatu laki-laki.
• $y$: Banyaknya sepatu wanita.
• Keuntungan per pasang sepatu laki-laki: Rp10.000.
• Keuntungan per pasang sepatu wanita: Rp5.000.

Batasan-batasan:

1. Sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang: $x \geq 100$.
2. Sepatu wanita paling sedikit 150 pasang: $y \geq 150$.
3. Kapasitas total toko: $x + y \leq 400$.
4. Banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang: $x \leq 150$.

Fungsi Objektif (Keuntungan): $Z = 10.000x + 5.000y$

Kita akan mencari nilai $x$ dan $y$ yang memaksimalkan $Z$ dengan memenuhi batasan-batasan di atas.

Langkah Penyelesaian:

1. Bentuk Daerah Feasible:

   • $x \geq 100$
   • $y \geq 150$
   • $x + y \leq 400$
   • $x \leq 150$

   Daerah feasible (daerah yang memenuhi semua syarat) akan berbentuk sebuah segiempat yang dibatasi oleh garis-garis di atas.

2. Menentukan Titik-titik Sudut: Untuk mencari nilai $x$ dan $y$ yang optimal, kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah feasible:

   • $(100, 150)$ (diperoleh dari perpotongan $x = 100$ dan $y = 150$)
   • $(150, 150)$ (diperoleh dari perpotongan $x = 150$ dan $y = 150$)
   • $(150, 250)$ (diperoleh dari perpotongan $x = 150$ dan $x + y = 400$)
   • $(100, 300)$ (diperoleh dari perpotongan $x = 100$ dan $x + y = 400$)

3. Menghitung Fungsi Objektif di Titik-titik Sudut: Mari kita hitung keuntungan di setiap titik:

   • Untuk $(100, 150)$: $Z = 10.000 \times 100 + 5.000 \times 150 = 1.000.000 + 750.000 = 1.750.000$
   • Untuk $(150, 150)$: $Z = 10.000 \times 150 + 5.000 \times 150 = 1.500.000 + 750.000 = 2.250.000$
   • Untuk $(150, 250)$: $Z = 10.000 \times 150 + 5.000 \times 250 = 1.500.000 + 1.250.000 = 2.750.000$
   • Untuk $(100, 300)$: $Z = 10.000 \times 100 + 5.000 \times 300 = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000$

4. Menentukan Keuntungan Terbesar: Dari perhitungan di atas, keuntungan terbesar diperoleh pada titik $(150, 250)$, yaitu: $Z = 2.750.000$

Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp2.750.000 dengan membeli 150 pasang sepatu laki-laki dan 250 pasang sepatu wanita.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lain?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana jika harga sepatu wanita dinaikkan menjadi 7.000 per pasang, apa pengaruhnya terhadap keuntungan maksimal?
2. Apakah ada alternatif lain jika kapasitas total toko berubah menjadi 500 pasang?
3. Bagaimana cara menggambarkan grafik dari daerah feasible untuk kasus ini?
4. Jika keuntungan sepatu laki-laki dan wanita sama, bagaimana perubahan solusi optimal?
5. Bagaimana menentukan titik maksimum menggunakan metode sudut ekstrem?

Tip:

Dalam masalah optimasi linear, keuntungan maksimal atau minimal biasanya ditemukan di titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi semua batasan.