Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan membuat model program linear yang memaksimalkan keuntungan perusahaan dengan mempertimbangkan waktu mesin yang tersedia untuk memproduksi produk X dan produk Y. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Definisikan Variabel Keputusan

Misalkan:

• $x$: jumlah produk X yang diproduksi per hari.
• $y$: jumlah produk Y yang diproduksi per hari.

2. Menyusun Fungsi Objektif

Keuntungan per unit produk X adalah Rp 40.000,-, dan keuntungan per unit produk Y adalah Rp 30.000,-. Maka, fungsi objektif (keuntungan total) yang ingin kita maksimalkan adalah: $\text{Maksimalkan } Z = 40.000x + 30.000y$

3. Menyusun Kendala

Setiap produk membutuhkan waktu pemrosesan pada dua mesin, dan waktu mesin tersedia terbatas.

• Kendala Mesin 1: Setiap unit produk X membutuhkan 3 jam, dan setiap unit produk Y membutuhkan 2 jam pada mesin 1. Total waktu pada mesin 1 yang tersedia adalah 18 jam. $3x + 2y \leq 18$

• Kendala Mesin 2: Setiap unit produk X membutuhkan 2 jam, dan setiap unit produk Y membutuhkan 4 jam pada mesin 2. Total waktu pada mesin 2 yang tersedia adalah 16 jam. $2x + 4y \leq 16$

• Kendala Non-negatif: Jumlah produk tidak bisa negatif, jadi: $x \geq 0, \quad y \geq 0$

Model Matematika Program Linear

Dari uraian di atas, kita dapat menuliskan model matematis dari masalah ini sebagai berikut:

$\text{Maksimalkan } Z = 40.000x + 30.000y$ dengan kendala:

3x + 2y \leq 18, \\ 2x + 4y \leq 16, \\ x \geq 0, \\ y \geq 0. \end{cases}$$ ### 4. Menyelesaikan dengan Metode Simpleks #### Langkah-langkah Penyelesaian 1. **Ubah kendala ke dalam bentuk persamaan** dengan menambahkan variabel slack $$s_1$$ dan $$s_2$$: $$3x + 2y + s_1 = 18,$$ $$2x + 4y + s_2 = 16.$$ 2. **Susun Tabel Simpleks Awal.** | Variabel Basis | $$x$$ | $$y$$ | $$s_1$$ | $$s_2$$ | Solusi | |----------------|---------|---------|-----------|-----------|--------| | $$s_1$$ | 3 | 2 | 1 | 0 | 18 | | $$s_2$$ | 2 | 4 | 0 | 1 | 16 | | $$Z$$ | -40000 | -30000 | 0 | 0 | 0 | 3. **Pilih kolom pivot:** Pilih variabel yang memiliki koefisien negatif terbesar di baris $$Z$$, yaitu kolom $$x$$ (karena -40000 paling negatif). 4. **Pilih baris pivot:** Tentukan nilai rasio $$\frac{\text{solusi}}{\text{koefisien pivot}}$$ untuk kolom $$x$$: - Baris 1: $$\frac{18}{3} = 6$$ - Baris 2: $$\frac{16}{2} = 8$$ Baris pivot adalah baris 1, karena 6 adalah rasio terkecil. 5. **Lakukan operasi baris untuk membuat tabel baru,** dengan menjadikan $$x$$ sebagai variabel basis. Setelah beberapa iterasi, kita akan mendapatkan solusi optimal. Saya akan membantu menyelesaikan perhitungan ini jika Anda ingin melihat prosesnya lebih rinci, atau jika Anda ingin saya menghitung keuntungan maksimum secara langsung.