لحل مسألة البرمجة الخطية باستخدام طريقة الرسم البياني، سنقوم بخطوات واضحة لحل المشكلة. أولاً، سنحتاج إلى صياغة القيود ثم حلها على الرسم البياني، وأخيراً سنحدد القيم المثلى لـ $X_1$ و $X_2$ التي تعظم دالة الهدف.

المسألة المعطاة:

دالة الهدف: $Z = 10X_1 + 8X_2$

القيود: $3X_1 + 6X_2 \leq 18$ $6X_1 \leq 12$ $X_1 \geq 0، X_2 \geq 0$

خطوات الحل:

1. تحليل القيود:

   • من القيد الأول $3X_1 + 6X_2 \leq 18$، نقسم على 3 لتحويله إلى صورة أبسط: $X_1 + 2X_2 \leq 6$
   • من القيد الثاني $6X_1 \leq 12$، نقسم على 6: $X_1 \leq 2$
   • القيدان الآخران هما $X_1 \geq 0$ و $X_2 \geq 0$ وهي القيود الاعتيادية التي تعبر عن عدم سلبية المتغيرات.

2. رسم الخطوط الحدودية للقيود:

   • القيد الأول $X_1 + 2X_2 = 6$: لإيجاد نقاط التقاطع مع المحورين:
     • عندما $X_1 = 0$، يكون $X_2 = 3$ (نقطة $(0, 3)$).
     • عندما $X_2 = 0$، يكون $X_1 = 6$ (نقطة $(6, 0)$).
   • القيد الثاني $X_1 = 2$: هو خط عمودي على المحور $X_1$ عند النقطة $(2, 0)$.

3. رسم المنطقة المقبولة:

   • سنقوم بتظليل المنطقة التي تقع تحت الخط $X_1 + 2X_2 = 6$ وإلى يسار الخط $X_1 = 2$.
   • تأخذ المنطقة المقبولة في الاعتبار جميع القيود الأخرى $X_1 \geq 0$ و $X_2 \geq 0$ وهي تقع في الربع الأول من المستوى.

4. إيجاد النقاط الأساسية (نقاط التقاطع):

   • نقطة التقاطع بين $X_1 + 2X_2 = 6$ و $X_1 = 2$: بالتعويض في القيد الأول: $2 + 2X_2 = 6 \implies X_2 = 2$ إذن النقطة هي $(2, 2)$.
   • نقاط أخرى هي تقاطع الخطوط مع المحورين:
     • $(0, 0)$،
     • $(0, 3)$ من القيد الأول،
     • $(2, 0)$ من القيد الثاني.

5. حساب دالة الهدف عند النقاط الأساسية: نحسب قيمة $Z$ في كل نقطة:

   • عند $(0, 0)$: $Z = 10(0) + 8(0) = 0$
   • عند $(0, 3)$: $Z = 10(0) + 8(3) = 24$
   • عند $(2, 0)$: $Z = 10(2) + 8(0) = 20$
   • عند $(2, 2)$: $Z = 10(2) + 8(2) = 36$

6. تحديد الحل الأمثل: أعلى قيمة لـ $Z$ هي 36 عند النقطة $(2, 2)$.

الحل الأمثل:

القيم المثلى لـ $X_1$ و $X_2$ هي: $X_1 = 2، X_2 = 2$ وتكون القيمة العظمى لدالة الهدف $Z = 36$.

هل تريد أي تفاصيل إضافية أو توضيحات؟ إليك بعض الأسئلة الإضافية لفهم أعمق:

1. كيف يمكن تمثيل المنطقة المقبولة بيانياً بشكل دقيق؟
2. ماذا يحدث إذا تغيرت دالة الهدف؟
3. كيف نحل مسائل البرمجة الخطية باستخدام طرق أخرى غير الرسم البياني؟
4. هل هناك علاقة بين نوع القيود وشكل المنطقة المقبولة؟
5. ما هي الحالة التي يمكن فيها أن لا يوجد حل مثالي لمسألة البرمجة الخطية؟

نصيحة:

دائماً تأكد من أن المنطقة المقبولة تلبي جميع القيود المفروضة على المسألة قبل البحث عن النقاط المثلى.