Math Problem Statement

استخرج الحل الأمثل لمشكلة البرمجة الخطية طريقة الرسم البياني :- Max (z) = 101 + 82 S.t.o 3X1 + 6X2 18 6X1 12

Solution

لحل مسألة البرمجة الخطية باستخدام طريقة الرسم البياني، سنقوم بحلها خطوة بخطوة، مع التركيز على تحويل القيود إلى معادلات خطية ثم رسمها لتحديد منطقة الحل، ومن ثم تحديد النقاط الحرجة وحساب دالة الهدف عند هذه النقاط.

المسألة:

هدف تعظيم دالة الهدف:

MaximizeZ=10X1+8X2\text{Maximize} \: Z = 10X_1 + 8X_2

مع القيود:

  1. 3X1+6X2183X_1 + 6X_2 \leq 18
  2. 6X1126X_1 \leq 12
  3. X10X_1 \geq 0
  4. X20X_2 \geq 0

الخطوة 1: تحويل القيود إلى معادلات خطية

  1. من القيود: 3X1+6X2=183X_1 + 6X_2 = 18

نقسم على 3 لتبسيط المعادلة:

X1+2X2=6X_1 + 2X_2 = 6

  1. من القيد: 6X1=126X_1 = 12

نقسم على 6:

X1=2X_1 = 2

الخطوة 2: رسم المعادلات لتحديد منطقة الحل

معادلة 1: X1+2X2=6X_1 + 2X_2 = 6

  • إذا كان X1=0X_1 = 0: 2X2=6    X2=32X_2 = 6 \implies X_2 = 3
  • إذا كان X2=0X_2 = 0: X1=6X_1 = 6

إذن النقاط الناتجة من المعادلة الأولى هي: (0,3)(0, 3) و (6,0)(6, 0).

معادلة 2: X1=2X_1 = 2

هذا يعني أن الخط الثاني هو خط عمودي على المحور X1X_1 عند X1=2X_1 = 2.

الخطوة 3: تحديد منطقة الحل

نقوم برسم الخطين على مستوى الإحداثيات. المنطقة التي تقع تحت الخط X1+2X2=6X_1 + 2X_2 = 6 و إلى يسار الخط X1=2X_1 = 2، مع أخذ في الاعتبار أن X10X_1 \geq 0 و X20X_2 \geq 0 تمثل منطقة الحل المقبول.

الخطوة 4: إيجاد النقاط الحرجة

النقاط الحرجة (تقاطع القيود مع بعضها البعض ومع المحاور) هي:

  1. (0,0)(0, 0)
  2. (2,0)(2, 0) من X1=2X_1 = 2
  3. تقاطع X1+2X2=6X_1 + 2X_2 = 6 مع X1=2X_1 = 2:

2+2X2=6    2X2=4    X2=22 + 2X_2 = 6 \implies 2X_2 = 4 \implies X_2 = 2

إذن النقطة الحرجة الثالثة هي (2,2)(2, 2).

الخطوة 5: حساب دالة الهدف عند النقاط الحرجة

نحسب قيمة Z=10X1+8X2Z = 10X_1 + 8X_2 عند كل نقطة:

  1. عند (0,0)(0, 0): Z=10(0)+8(0)=0Z = 10(0) + 8(0) = 0
  2. عند (2,0)(2, 0): Z=10(2)+8(0)=20Z = 10(2) + 8(0) = 20
  3. عند (2,2)(2, 2): Z=10(2)+8(2)=20+16=36Z = 10(2) + 8(2) = 20 + 16 = 36

الحل الأمثل:

الحل الأمثل يحدث عند النقطة (2,2)(2, 2) حيث تكون القيمة القصوى لدالة الهدف Z=36Z = 36.


هل تحتاج إلى تفاصيل أكثر حول أي خطوة؟

أسئلة مرتبطة للتوسع:

  1. كيف يمكن حل المسألة باستخدام طريقة السمبلكس؟
  2. ما هي القيود الإضافية التي قد تؤثر على الحل باستخدام طريقة الرسم البياني؟
  3. كيف تؤثر المتغيرات الثنائية في البرمجة الخطية؟
  4. ما الفرق بين البرمجة الخطية والبرمجة غير الخطية؟
  5. كيف يتم استخدام البرمجة الخطية في تحسين العمليات التجارية؟

نصيحة: في طريقة الرسم البياني، يعتمد الحل على عدد المتغيرات. هذه الطريقة تكون فعّالة عندما يكون لديك متغيرين فقط، ولكن في حالات أكثر تعقيدًا، يفضل استخدام طرق أخرى مثل السمبلكس.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Programming
Graphical Method

Formulas

Objective Function: Z = 10X1 + 8X2
Constraint 1: 3X1 + 6X2 <= 18
Constraint 2: 6X1 <= 12

Theorems

Graphical method for linear programming

Suitable Grade Level

College/Advanced High School