استخرج الحل الأمثل لمشكلة البرمجة الخطية طريقة الرسم البياني :-
Max (z) = 10*1 + 8*2
S.t.o 
3X1 + 6X2  18
6X1  12


لحل مسألة البرمجة الخطية باستخدام **طريقة الرسم البياني**، سنقوم بحلها خطوة بخطوة، مع التركيز على تحويل القيود إلى معادلات خطية ثم رسمها لتحديد منطقة الحل، ومن ثم تحديد النقاط الحرجة وحساب دالة الهدف عند هذه النقاط.

**المسألة:**

هدف تعظيم دالة الهدف:

\[
\text{Maximize} \: Z = 10X_1 + 8X_2
\]

مع القيود:

1. \( 3X_1 + 6X_2 \leq 18 \)
2. \( 6X_1 \leq 12 \)
3. \( X_1 \geq 0 \)
4. \( X_2 \geq 0 \)

### الخطوة 1: تحويل القيود إلى معادلات خطية

1. من القيود: \( 3X_1 + 6X_2 = 18 \)

نقسم على 3 لتبسيط المعادلة:

\[
X_1 + 2X_2 = 6
\]

2. من القيد: \( 6X_1 = 12 \)

نقسم على 6:

\[
X_1 = 2
\]

### الخطوة 2: رسم المعادلات لتحديد منطقة الحل

#### معادلة 1: \( X_1 + 2X_2 = 6 \)

- إذا كان \( X_1 = 0 \): 
  \[
  2X_2 = 6 \implies X_2 = 3
  \]
- إذا كان \( X_2 = 0 \): 
  \[
  X_1 = 6
  \]

إذن النقاط الناتجة من المعادلة الأولى هي: \( (0, 3) \) و \( (6, 0) \).

#### معادلة 2: \( X_1 = 2 \)

هذا يعني أن الخط الثاني هو خط عمودي على المحور \( X_1 \) عند \( X_1 = 2 \).

### الخطوة 3: تحديد منطقة الحل

نقوم برسم الخطين على مستوى الإحداثيات. المنطقة التي تقع تحت الخط \( X_1 + 2X_2 = 6 \) و إلى يسار الخط \( X_1 = 2 \)، مع أخذ في الاعتبار أن \( X_1 \geq 0 \) و \( X_2 \geq 0 \) تمثل منطقة الحل المقبول.

### الخطوة 4: إيجاد النقاط الحرجة

النقاط الحرجة (تقاطع القيود مع بعضها البعض ومع المحاور) هي:

1. \( (0, 0) \)
2. \( (2, 0) \) من \( X_1 = 2 \)
3. تقاطع \( X_1 + 2X_2 = 6 \) مع \( X_1 = 2 \):

\[
2 + 2X_2 = 6 \implies 2X_2 = 4 \implies X_2 = 2
\]

إذن النقطة الحرجة الثالثة هي \( (2, 2) \).

### الخطوة 5: حساب دالة الهدف عند النقاط الحرجة

نحسب قيمة \( Z = 10X_1 + 8X_2 \) عند كل نقطة:

1. عند \( (0, 0) \): 
\[
Z = 10(0) + 8(0) = 0
\]
2. عند \( (2, 0) \): 
\[
Z = 10(2) + 8(0) = 20
\]
3. عند \( (2, 2) \): 
\[
Z = 10(2) + 8(2) = 20 + 16 = 36
\]

### الحل الأمثل:

الحل الأمثل يحدث عند النقطة \( (2, 2) \) حيث تكون القيمة القصوى لدالة الهدف \( Z = 36 \).

---

**هل تحتاج إلى تفاصيل أكثر حول أي خطوة؟**

### أسئلة مرتبطة للتوسع:

1. كيف يمكن حل المسألة باستخدام طريقة السمبلكس؟
2. ما هي القيود الإضافية التي قد تؤثر على الحل باستخدام طريقة الرسم البياني؟
3. كيف تؤثر المتغيرات الثنائية في البرمجة الخطية؟
4. ما الفرق بين البرمجة الخطية والبرمجة غير الخطية؟
5. كيف يتم استخدام البرمجة الخطية في تحسين العمليات التجارية؟

**نصيحة:** في طريقة الرسم البياني، يعتمد الحل على عدد المتغيرات. هذه الطريقة تكون فعّالة عندما يكون لديك متغيرين فقط، ولكن في حالات أكثر تعقيدًا، يفضل استخدام طرق أخرى مثل السمبلكس.

استخرج الحل الأمثل لمشكلة البرمجة الخطية طريقة الرسم البياني :- Max (z) = 10*1 + 8*2 S.t.o 3X1 + 6X2  18 6X1  12

Solve the linear programming problem Max (Z) = 10X1 + 8X2 using the graphical method. This step-by-step guide covers converting constraints into linear equations, plotting them, and identifying the optimal solution at the feasible region's vertices. Suitable for advanced high school or college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation