För att undersöka om vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ är linjärt oberoende i det tredimensionella rummet och alla är parallella med planet $x + y + z = 0$, måste vi analysera deras relation till detta plan.

1. Vektorer parallella med planet

Om vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ alla är parallella med planet $x + y + z = 0$, innebär det att de ligger i planet. Normala vektorn till planet $x + y + z = 0$ är $\mathbf{n} = (1, 1, 1)$, eftersom detta är koefficienterna för $x$, $y$ och $z$ i planets ekvation. Att en vektor är parallell med planet innebär att dess skalärprodukt med normalen till planet är noll:

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{u} = 0, \quad \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0, \quad \mathbf{n} \cdot \mathbf{w} = 0$

Där $\mathbf{n} = (1, 1, 1)$ och $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$, $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$, $\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)$. Detta ger följande ekvationer:

$u_1 + u_2 + u_3 = 0$ $v_1 + v_2 + v_3 = 0$ $w_1 + w_2 + w_3 = 0$

2. Linjärt oberoende

Vektorerna är linjärt oberoende om den enda lösningen till följande ekvation är att alla koefficienter är noll:

$c_1 \mathbf{u} + c_2 \mathbf{v} + c_3 \mathbf{w} = \mathbf{0}$

Detta motsvarar systemet:

$c_1 u_1 + c_2 v_1 + c_3 w_1 = 0$ $c_1 u_2 + c_2 v_2 + c_3 w_2 = 0$ $c_1 u_3 + c_2 v_3 + c_3 w_3 = 0$

Men eftersom $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ alla ligger i planet $x + y + z = 0$, finns det en relation mellan deras komponenter som gör att deras determinerande system inte kan vara linjärt oberoende.

I planet $x + y + z = 0$ är dimensionen bara två, inte tre, vilket innebär att maximalt två vektorer kan vara linjärt oberoende. Om vi har tre vektorer som ligger i samma tvådimensionella plan, kommer de att vara linjärt beroende.

Slutsats:

Vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ är linjärt beroende eftersom de alla ligger i ett tvådimensionellt plan i ett tredimensionellt rum, och högst två vektorer kan vara linjärt oberoende i ett sådant plan.

Vill du ha mer detaljer eller har några frågor?

Här är fem relaterade frågor att utforska vidare:

1. Hur bestämmer man om två vektorer är ortogonala i ett plan?
2. Vad är en bas för ett plan i tredimensionella rummet?
3. Hur kan man algebraiskt visa att tre vektorer är linjärt oberoende?
4. Hur kan vi hitta normalen till ett plan utifrån tre punkter?
5. Hur fungerar den geometriska tolkningen av vektorprojektion?

Tips: För att kontrollera om tre vektorer i tredimensionella rummet är linjärt oberoende, kan du beräkna deras determinant. Om determinanten är noll, är de linjärt beroende.