A questão pede para calcular a integral de linha da função vetorial $\mathbf{F}(x, y) = \left( \ln(x^3) - 2y^2, 5x - e^{y^2} \right)$ ao longo da curva $C$, dada por:

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{5} = 1$

A curva $C$ é uma elipse orientada no sentido anti-horário. A integral de linha tem a forma:

$\int_C (P \, dx + Q \, dy)$

Onde $P(x, y) = \ln(x^3) - 2y^2$ e $Q(x, y) = 5x - e^{y^2}$.

Método para resolver:

1. Verifique se a integral pode ser simplificada por meio do Teorema de Stokes ou teorema da integral de linha:

   • A integral de linha de um campo vetorial $\mathbf{F} = (P, Q)$ sobre uma curva $C$ fechada pode ser convertida em uma integral de superfície através do Teorema de Green.
   • O Teorema de Green afirma que:

   $\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$

   Onde $R$ é a região limitada pela curva $C$.

2. Calcule as derivadas parciais:

   • $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln(x^3) - 2y^2) = -4y$
   • $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (5x - e^{y^2}) = 5$

3. Aplicando o Teorema de Green:

   A integral de linha se torna:

   $\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_R \left( 5 - (-4y) \right) dA = \iint_R (5 + 4y) \, dA$

4. Área da elipse:

   A região $R$ é uma elipse dada por:

   $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{5} = 1$

   A área de uma elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ é dada por $\pi a b$. No nosso caso, $a = \sqrt{2}$ e $b = \sqrt{5}$, então a área da elipse é:

   $A = \pi \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \pi \cdot \sqrt{10}$

5. Integral dupla:

   Agora, precisamos calcular a integral dupla $\iint_R (5 + 4y) \, dA$. Devido à simetria da elipse (centro na origem e função ímpar em $y$), a integral de $4y$ sobre a área será zero. Assim, a integral se simplifica para:

   $\iint_R 5 \, dA = 5 \cdot \text{área da elipse} = 5 \cdot \pi \cdot \sqrt{10}$

Resultado:

A resposta final para a integral de linha é:

$5 \pi \sqrt{10}$

Portanto, a alternativa correta é (b) $5 \sqrt{10} \pi$.

Perguntas relacionadas:

1. O que acontece com a integral de linha se a curva $C$ não fosse fechada?
2. Como o Teorema de Green simplifica as integrais de linha?
3. Qual seria o efeito de adicionar mais termos à função $P(x, y)$ ou $Q(x, y)$?
4. Como calcular a área de uma elipse em coordenadas polares?
5. Quais outras integrais de linha podem ser resolvidas usando o Teorema de Green?

Dica:

Sempre que você estiver lidando com uma integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada, verifique se pode aplicar o Teorema de Green. Ele pode simplificar bastante o cálculo, convertendo a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.