Ta cần tính giới hạn:

$\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} \frac{x^2 + y^2}{e^{x+y}}$

Bước 1: Xét tốc độ tăng của tử số và mẫu số

• Tử số: $x^2 + y^2$ tăng vô hạn khi $x, y \to +\infty$.
• Mẫu số: $e^{x+y}$ cũng tăng vô hạn nhưng với tốc độ nhanh hơn rất nhiều so với đa thức $x^2 + y^2$.

Bước 2: So sánh tốc độ tăng

Hàm mũ $e^{x+y}$ có tốc độ tăng nhanh hơn bất kỳ hàm đa thức nào. Nghĩa là, dù $x^2 + y^2$ có lớn đến đâu, mẫu số vẫn lớn hơn nhiều khi $x, y \to +\infty$.

Bước 3: Lấy giới hạn

Ta có:

$\frac{x^2 + y^2}{e^{x+y}} = \frac{x^2}{e^{x+y}} + \frac{y^2}{e^{x+y}}$

Xét riêng từng số hạng, ta xét giới hạn:

$\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} \frac{x^2}{e^{x+y}}$

• Khi $y = x$, ta có:

  $\frac{x^2}{e^{x+x}} = \frac{x^2}{e^{2x}}$

  Do hàm số $e^{2x}$ tăng nhanh hơn $x^2$, nên giới hạn của biểu thức này là 0.

Tương tự, xét $\frac{y^2}{e^{x+y}}$, ta cũng thu được giới hạn là 0.

Vậy:

$\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} \frac{x^2 + y^2}{e^{x+y}} = 0.$

Kết luận

Giới hạn cần tìm là:

$\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} \frac{x^2 + y^2}{e^{x+y}} = 0.$

---

Bạn có muốn giải thích chi tiết hơn về một bước nào không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao hàm mũ lại tăng nhanh hơn đa thức khi $x \to +\infty$?
2. Có cách nào khác để tính giới hạn này không?
3. Nếu thay $e^{x+y}$ bằng $e^x + e^y$, giới hạn có thay đổi không?
4. Giới hạn có thay đổi nếu thay $x^2 + y^2$ bằng $x^3 + y^3$ không?
5. Nếu xét giới hạn $x, y \to -\infty$ thì kết quả sẽ như thế nào?

💡 Mẹo:
Trong các bài toán giới hạn, nếu mẫu số là một hàm mũ mà tử số chỉ là đa thức, giới hạn thường sẽ tiến về 0 khi $x, y \to +\infty$.