Untuk menentukan nilai limit dari fungsi yang diberikan, kita terlebih dahulu menuliskan kembali limit tersebut dengan lebih jelas:

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - (x^2 - 2x + 1) \right)$

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Ekspansi dan penyederhanaan bagian yang relevan:

   $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

   Karena $\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1$, maka:

   $\sqrt{x^2 + x} \sim x \quad \text{saat} \quad x \to \infty$

2. Ubah ekspresi lain:

   $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

3. Bentuk limit keseluruhan:

   Sekarang kita substitusikan hasil penyederhanaan ke dalam limit:

   $\lim_{x \to \infty} \left( x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - (x - 1)^2 \right)$

4. Evaluasi Limit:

   Saat $x \to \infty$, kita dapat fokus pada suku utama dari kedua bagian. Seperti yang kita lihat, $\sqrt{x^2 + x}$ mendekati $x$, dan $(x-1)^2$ juga mendekati $x^2$, yang menyebabkan hasil limit cenderung menuju tak hingga. Akan tetapi, jika kita mencari bentuk perbedaan yang lebih halus, kita bisa mencoba mengekspresikan lebih jauh, tetapi hasilnya menunjukkan nilai yang cenderung tak hingga besar.

Dengan demikian, nilai limit dari ekspresi yang diberikan adalah tak hingga.

Jika Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya.

---

5 Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menangani limit dengan bentuk tak tentu seperti ini?
2. Apa metode yang bisa digunakan untuk menyederhanakan akar kuadrat pada limit tak hingga?
3. Mengapa substitusi $x \to \infty$ berguna dalam limit?
4. Bagaimana hubungan suku dominan dengan hasil limit pada $x \to \infty$?
5. Apa peran limit pada tak hingga dalam kalkulus diferensial?

Tip:

Selalu periksa suku dominan dalam ekspresi sebelum menerapkan limit pada $x \to \infty$, karena suku tersebut sering menentukan hasil limit.