Untuk menentukan nilai limit dari ekspresi $\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - (x^2 - 2x + 1) \right)$, kita akan menghitungnya secara bertahap.

1. Tentukan bentuk umum limit

Pertama, kita memiliki ekspresi sebagai berikut: $f(x) = \sqrt{x^2 + x} - (x^2 - 2x + 1)$

2. Sederhanakan bagian kuadrat

Sederhanakan bagian kuadrat: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ Jadi, ekspresi limit menjadi: $f(x) = \sqrt{x^2 + x} - (x - 1)^2$

3. Analisis limit untuk $x \to \infty$

Ketika $x \to \infty$, kedua bagian ekspresi di atas mengandung suku kuadrat besar, jadi kita harus menyederhanakan ekspresi untuk mendapatkan bentuk yang lebih mudah dihitung.

Pertama, fokus pada suku akar: $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ Untuk $x \to \infty$, $\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1$, sehingga bagian ini mendekati $x$.

Bagian kedua, $(x - 1)^2$, jika $x \to \infty$, maka bagian ini juga mendekati $x^2$.

4. Hitung limit

Untuk menghitung limit ini secara tepat, kita perlu menggunakan manipulasi aljabar tambahan. Trik yang sering digunakan adalah mengalikan dengan bentuk sekawan untuk menyederhanakan ekspresi, tetapi karena pada dasarnya kedua bagian dominan ini mendekati $x$, hasil akhirnya akan mendekati suatu nilai konstan.

Nilai limit yang benar setelah analisis lebih lanjut adalah:

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - (x^2 - 2x + 1) \right) = 0$

Kesimpulan:

Nilai limitnya adalah $0$.

Apakah ada pertanyaan atau penjelasan yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara melakukan manipulasi aljabar dalam limit yang lebih rumit?
2. Apa kegunaan dari metode mengalikan dengan bentuk sekawan dalam limit?
3. Bagaimana cara menganalisis suku-suku tak hingga dalam limit?
4. Apa itu batas dominan dalam kalkulus limit?
5. Bagaimana limit dapat digunakan dalam pemodelan fungsi-fungsi tak hingga?

Tip: Dalam limit tak hingga, sering kali suku yang lebih kecil dari $x$ mendekati nol dan tidak berpengaruh pada hasil akhir.