Решим предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

Шаг 1: Интуитивное понимание

Функция $\frac{\sin x}{x}$ встречается очень часто в математике, и этот предел известен как фундаментальный. Для небольших значений $x$, синус $x$ очень близок к $x$ (это можно видеть из графика), что дает нам предположение, что этот предел будет равен $1$.

Шаг 2: Используем правило Лопиталя

Так как предел имеет неопределенность вида $\frac{0}{0}$, можно применить правило Лопиталя. Это правило гласит, что если предел функции вида $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x \to c$ имеет неопределенность $\frac{0}{0}$, то:

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},$

если существует этот предел.

Применим это к нашему пределу:

• $f(x) = \sin x$, производная $f'(x) = \cos x$.
• $g(x) = x$, производная $g'(x) = 1$.

Теперь найдем предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1.$

Таким образом, предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Шаг 3: Геометрическое доказательство

Существует также геометрическое доказательство этого предела, которое основывается на сравнении площадей сектора, вписанного треугольника и описанного треугольника в единичной окружности. Однако, данный метод сложнее, поэтому для краткости здесь мы его не приводим.

Ответ:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Могу ли я что-то объяснить подробнее?

---

1. Как доказать этот предел без использования правила Лопиталя?
2. Какие еще неопределенности существуют в математическом анализе?
3. Как работает правило Лопиталя и в каких ситуациях его применять?
4. Как использовать этот предел в задачах из физики?
5. Какие еще тригонометрические пределы полезно знать?

Совет: Всегда проверяйте условия применения правила Лопиталя, чтобы избежать некорректных решений.