Kita akan mencari limit:

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x^2 + 3}{2x^3 - 4x + 1}$

Penyelesaian

Karena derajat tertinggi dari pembilang dan penyebut adalah 3, kita bagi semua suku dengan $x^3$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^3}{x^3} - \frac{2x^2}{x^3} + \frac{3}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} - \frac{4x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}$

Menyederhanakan:

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^3}}{2 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$

Karena saat $x \to \infty$, semua suku dengan $x$ di penyebut akan mendekati nol:

$\frac{4 - 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{4}{2} = 2$

Jadi,

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x^2 + 3}{2x^3 - 4x + 1} = 2$

---

Soal Serupa

Hitunglah:

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 3x^2 - 5}{3x^4 - 2x + 7}$

Jawaban

Karena derajat tertinggi pembilang dan penyebut adalah 4, kita bagi semua suku dengan $x^4$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x^4}{x^4} + \frac{3x^2}{x^4} - \frac{5}{x^4}}{\frac{3x^4}{x^4} - \frac{2x}{x^4} + \frac{7}{x^4}}$

Menyederhanakan:

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{3}{x^2} - \frac{5}{x^4}}{3 - \frac{2}{x^3} + \frac{7}{x^4}}$

Saat $x \to \infty$:

$\frac{6 + 0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{6}{3} = 2$

Jadi,

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 3x^2 - 5}{3x^4 - 2x + 7} = 2$

---

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan limit fungsi rasional saat $x \to -\infty$?
2. Apa yang terjadi jika derajat pembilang lebih besar dari penyebut?
3. Bagaimana menentukan limit jika derajat penyebut lebih besar dari pembilang?
4. Bagaimana cara menyelesaikan limit jika bentuknya tak tentu seperti $\frac{\infty}{\infty}$?
5. Apa kegunaan teorema L'Hôpital dalam perhitungan limit?

Tip: Jika derajat pembilang dan penyebut sama, limit saat $x \to \infty$ adalah rasio koefisien suku berderajat tertinggi!