Para provar que o limite da expressão $\frac{x^4 y^4}{(x^2 + y^4)^3}$ não existe quando $(x, y) \to (0, 0)$, podemos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam da origem. Se o limite obtido for diferente dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 1: Avaliar o limite ao longo do eixo $x$

Se considerarmos $y = 0$, a expressão se torna: $\frac{x^4 \cdot 0^4}{(x^2 + 0^4)^3} = \frac{0}{x^6} = 0.$ Então, ao longo do eixo $x$, o limite é 0.

Passo 2: Avaliar o limite ao longo do eixo $y$

Agora, considere $x = 0$. A expressão se torna: $\frac{0^4 \cdot y^4}{(0^2 + y^4)^3} = \frac{0}{y^{12}} = 0.$ Então, ao longo do eixo $y$, o limite também é 0.

Passo 3: Avaliar o limite ao longo da reta $y = x$

Agora, vamos substituir $y = x$ na expressão: $\frac{x^4 \cdot x^4}{(x^2 + x^4)^3} = \frac{x^8}{(x^2 + x^4)^3}.$ Para simplificar, fatoramos o denominador: $x^2 + x^4 = x^2(1 + x^2),$ então a expressão se torna: $\frac{x^8}{(x^2(1 + x^2))^3} = \frac{x^8}{x^6(1 + x^2)^3} = \frac{x^2}{(1 + x^2)^3}.$ Agora, podemos calcular o limite conforme $x \to 0$: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1 + x^2)^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1} = 0.$ Então, ao longo da reta $y = x$, o limite também é 0.

Passo 4: Avaliar o limite ao longo da curva $y = x^2$

Agora, considere $y = x^2$. Substituindo na expressão original: $\frac{x^4 \cdot (x^2)^4}{(x^2 + (x^2)^4)^3} = \frac{x^4 \cdot x^8}{(x^2 + x^8)^3} = \frac{x^{12}}{(x^2 + x^8)^3}.$ Como $x^2 + x^8 = x^2(1 + x^6)$, a expressão se torna: $\frac{x^{12}}{(x^2(1 + x^6))^3} = \frac{x^{12}}{x^6(1 + x^6)^3} = \frac{x^6}{(1 + x^6)^3}.$ Agora, calculamos o limite conforme $x \to 0$: $\lim_{x \to 0} \frac{x^6}{(1 + x^6)^3} = \lim_{x \to 0} x^6 = 0.$ Então, ao longo da curva $y = x^2$, o limite também é 0.

Passo 5: Avaliar o limite ao longo da curva $y = x^{1/2}$

Agora, considere $y = x^{1/2}$. Substituindo na expressão original: $\frac{x^4 \cdot (x^{1/2})^4}{(x^2 + (x^{1/2})^4)^3} = \frac{x^4 \cdot x^2}{(x^2 + x^2)^3} = \frac{x^6}{(2x^2)^3} = \frac{x^6}{8x^6} = \frac{1}{8}.$ Neste caso, o limite é $\frac{1}{8}$, que é diferente de zero.

Conclusão:

Como o limite depende do caminho tomado — sendo $0$ ao longo de alguns caminhos (e.g., $y = 0$, $x = 0$, ( y