x^4y^4/(x^2+y^4)^3, prove que o limite não existe

Para provar que o limite da expressão \( \frac{x^4 y^4}{(x^2 + y^4)^3} \) não existe quando \( (x, y) \to (0, 0) \), podemos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam da origem. Se o limite obtido for diferente dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não existe.

### Passo 1: Avaliar o limite ao longo do eixo \( x \)
Se considerarmos \( y = 0 \), a expressão se torna:
\[
\frac{x^4 \cdot 0^4}{(x^2 + 0^4)^3} = \frac{0}{x^6} = 0.
\]
Então, ao longo do eixo \( x \), o limite é 0.

### Passo 2: Avaliar o limite ao longo do eixo \( y \)
Agora, considere \( x = 0 \). A expressão se torna:
\[
\frac{0^4 \cdot y^4}{(0^2 + y^4)^3} = \frac{0}{y^{12}} = 0.
\]
Então, ao longo do eixo \( y \), o limite também é 0.

### Passo 3: Avaliar o limite ao longo da reta \( y = x \)
Agora, vamos substituir \( y = x \) na expressão:
\[
\frac{x^4 \cdot x^4}{(x^2 + x^4)^3} = \frac{x^8}{(x^2 + x^4)^3}.
\]
Para simplificar, fatoramos o denominador:
\[
x^2 + x^4 = x^2(1 + x^2),
\]
então a expressão se torna:
\[
\frac{x^8}{(x^2(1 + x^2))^3} = \frac{x^8}{x^6(1 + x^2)^3} = \frac{x^2}{(1 + x^2)^3}.
\]
Agora, podemos calcular o limite conforme \( x \to 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1 + x^2)^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1} = 0.
\]
Então, ao longo da reta \( y = x \), o limite também é 0.

### Passo 4: Avaliar o limite ao longo da curva \( y = x^2 \)
Agora, considere \( y = x^2 \). Substituindo na expressão original:
\[
\frac{x^4 \cdot (x^2)^4}{(x^2 + (x^2)^4)^3} = \frac{x^4 \cdot x^8}{(x^2 + x^8)^3} = \frac{x^{12}}{(x^2 + x^8)^3}.
\]
Como \( x^2 + x^8 = x^2(1 + x^6) \), a expressão se torna:
\[
\frac{x^{12}}{(x^2(1 + x^6))^3} = \frac{x^{12}}{x^6(1 + x^6)^3} = \frac{x^6}{(1 + x^6)^3}.
\]
Agora, calculamos o limite conforme \( x \to 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^6}{(1 + x^6)^3} = \lim_{x \to 0} x^6 = 0.
\]
Então, ao longo da curva \( y = x^2 \), o limite também é 0.

### Passo 5: Avaliar o limite ao longo da curva \( y = x^{1/2} \)
Agora, considere \( y = x^{1/2} \). Substituindo na expressão original:
\[
\frac{x^4 \cdot (x^{1/2})^4}{(x^2 + (x^{1/2})^4)^3} = \frac{x^4 \cdot x^2}{(x^2 + x^2)^3} = \frac{x^6}{(2x^2)^3} = \frac{x^6}{8x^6} = \frac{1}{8}.
\]
Neste caso, o limite é \( \frac{1}{8} \), que é diferente de zero.

### Conclusão:
Como o limite depende do caminho tomado — sendo \( 0 \) ao longo de alguns caminhos (e.g., \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( y

Prove que o limite não existe para a expressão x^4y^4/(x^2 + y^4)^3 quando (x, y) → (0, 0).

This solution proves that the limit of x^4y^4 / (x^2 + y^4)^3 does not exist as (x, y) approaches (0, 0). Explore various paths including y = x, y = 0, and y = x^2 to demonstrate path-dependent behavior. Suitable for university-level students studying multivariable calculus.

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