Pour calculer la limite de l'expression $\frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0, nous allons d'abord développer le numérateur et simplifier l'expression.

Étapes de la solution :

1. Développement du numérateur : $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$ Donc : $(x+h)^3 - x^3 = \left( x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 \right) - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

2. Simplification de l'expression : $\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$ En divisant chaque terme par $h$ : $= 3x^2 + 3xh + h^2$

3. Calcul de la limite lorsque $h \to 0$ : Lorsque $h$ tend vers 0, les termes contenant $h$ disparaissent : $\lim_{h \to 0} \left( 3x^2 + 3xh + h^2 \right) = 3x^2$

Conclusion :

La limite de $\frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0 est : $\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = 3x^2$

Souhaitez-vous plus de détails ou des clarifications ?

Voici 5 questions liées :

1. Comment appliquer cette méthode à d'autres fonctions polynomiales ?
2. Qu'est-ce que la définition formelle de la dérivée d'une fonction ?
3. Comment calculer la dérivée d'un produit de fonctions ?
4. Pourquoi le terme $h^2$ disparaît-il lors de la limite ?
5. Quelle est la signification géométrique de la dérivée de $x^3$ ?

Astuce : La limite obtenue ici est en fait la dérivée de $x^3$, donc cette méthode peut être utilisée pour calculer des dérivées en utilisant la définition limite.