limite lorsque h tend vers 0 pour l'expression ((x+h)^3-x^3/h)

Pour calculer la limite de l'expression \( \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} \) lorsque \( h \) tend vers 0, nous allons d'abord développer le numérateur et simplifier l'expression.

### Étapes de la solution :

1. **Développement du numérateur** :
   \[
   (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
   \]
   Donc :
   \[
   (x+h)^3 - x^3 = \left( x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 \right) - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3
   \]

2. **Simplification de l'expression** :
   \[
   \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}
   \]
   En divisant chaque terme par \( h \) :
   \[
   = 3x^2 + 3xh + h^2
   \]

3. **Calcul de la limite lorsque \( h \to 0 \)** :
   Lorsque \( h \) tend vers 0, les termes contenant \( h \) disparaissent :
   \[
   \lim_{h \to 0} \left( 3x^2 + 3xh + h^2 \right) = 3x^2
   \]

### Conclusion :
La limite de \( \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} \) lorsque \( h \) tend vers 0 est :
\[
\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = 3x^2
\]

Souhaitez-vous plus de détails ou des clarifications ?

Voici 5 questions liées :
1. Comment appliquer cette méthode à d'autres fonctions polynomiales ?
2. Qu'est-ce que la définition formelle de la dérivée d'une fonction ?
3. Comment calculer la dérivée d'un produit de fonctions ?
4. Pourquoi le terme \( h^2 \) disparaît-il lors de la limite ?
5. Quelle est la signification géométrique de la dérivée de \( x^3 \) ?

**Astuce** : La limite obtenue ici est en fait la dérivée de \( x^3 \), donc cette méthode peut être utilisée pour calculer des dérivées en utilisant la définition limite.

limite lorsque h tend vers 0 pour l'expression ((x+h)^3 - x^3)/h

This detailed solution walks through how to calculate the limit of the expression ((x+h)^3 - x^3)/h as h approaches 0, using polynomial expansion and the definition of a derivative. Suitable for students in Grades 11-12 or early Calculus courses.

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