Задание на изображении связано с вычислением пределов для функций нескольких переменных. Рассмотрим задачу 32:

Задача 32: $\lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{x^3 + y}{x + y}$

Шаги для решения:

1. Подставим $x = 0$ и $y = 0$ напрямую:

   Подставляем в числитель и знаменатель:

   Числитель: $x^3 + y = 0^3 + 0 = 0$

   Знаменатель: $x + y = 0 + 0 = 0$

   Получается неопределенность вида $\frac{0}{0}$, что значит, что нам нужно применить более точные методы (например, рассмотрение предела вдоль различных путей или использование теоремы о непрерывности для определения предела).

2. Рассмотрим предел вдоль различных путей:

   • Путь 1: $y = 0$ (предел по оси x):

     $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 0}{x + 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$

   • Путь 2: $x = 0$ (предел по оси y):

     $\lim_{y \to 0} \frac{0^3 + y}{0 + y} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = 1$

   Мы видим, что предел вдоль двух различных путей (по оси x и по оси y) дает разные значения (0 и 1), что указывает на отсутствие общего предела.

3. Вывод:

   Предел $\lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{x^3 + y}{x + y}$ не существует, так как результат зависит от пути подхода к точке $(0,0)$.

Ответ:

Предел не существует.

Если вам нужно дополнительное объяснение по другим задачам или шагам, я готов помочь!

Дополнительные вопросы для углубления:

1. Почему важно проверять пределы вдоль различных путей в многомерных задачах?
2. Как можно обобщить метод проверки предела с помощью теоремы о непрерывности?
3. Какие бывают способы вычисления предела многомерной функции, помимо прямого подставления?
4. Что такое неопределенность вида $\frac{0}{0}$ и как она используется при вычислениях пределов?
5. Какие методы анализа пределов существуют для функций нескольких переменных, помимо анализа по путям?

Совет: Когда функция имеет неопределенность, всегда пробуйте рассматривать предел вдоль разных путей или используйте методы, такие как преобразования координат, чтобы упростить задачу.