lim(x→∞) (1/xln(x)) käytä l'hospitalia

Tutkitaan rajan arvoa käyttäen L'Hospitalin sääntöä:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x \ln(x)}
\]

Tämä raja on muotoa \(\frac{1}{\infty} = 0\), mutta voimme käyttää L'Hospitalin sääntöä tarkempaan analyysiin, koska se on \(\frac{0}{0}\)-muodossa, kun tarkastellaan \(f(x) = 1\) ja \(g(x) = x \ln(x)\). Tällöin laskemme seuraavan raja-arvon derivaattojen avulla.

1. Lasketaan osoittajan derivaatta: \(\frac{d}{dx}(1) = 0\).
2. Lasketaan nimittäjän derivaatta:
   \[
   \frac{d}{dx}(x \ln(x)) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1
   \]

Nyt meillä on uusi raja-arvo:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{0}{\ln(x) + 1} = 0
\]

Koska osoittaja pysyy nollana ja nimittäjä kasvaa äärettömäksi, lopputulos on:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x \ln(x)} = 0
\]

Tämän perusteella vastaus on:

\[
\boxed{0}
\]

Haluatko lisätietoja tästä ratkaisusta tai onko sinulla muita kysymyksiä?

### Seuraavia kysymyksiä voisi tutkia:
1. Kuinka L'Hospitalin sääntö toimii tarkalleen ottaen?
2. Milloin on suositeltavaa käyttää L'Hospitalin sääntöä raja-arvojen laskemisessa?
3. Voisiko saman raja-arvon ratkaista ilman L'Hospitalin sääntöä?
4. Kuinka ratkaista raja-arvo, jos funktion kasvu on monimutkaisempi?
5. Mitkä ovat yleiset raja-arvon laskemisen virheet?

**Vinkki:** L'Hospitalin sääntö on erityisen hyödyllinen tilanteissa, joissa raja-arvo on epäselvä ja muodossa \(\frac{0}{0}\) tai \(\frac{\infty}{\infty}\).

Explore how to solve the limit lim(x → ∞) (1/x ln(x)) using L'Hospital's Rule with a detailed step-by-step explanation. This calculus problem covers key concepts in limits and differentiation. Suitable for high school or early university students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation