Tutkitaan rajan arvoa käyttäen L'Hospitalin sääntöä:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x \ln(x)}$

Tämä raja on muotoa $\frac{1}{\infty} = 0$, mutta voimme käyttää L'Hospitalin sääntöä tarkempaan analyysiin, koska se on $\frac{0}{0}$-muodossa, kun tarkastellaan $f(x) = 1$ ja $g(x) = x \ln(x)$. Tällöin laskemme seuraavan raja-arvon derivaattojen avulla.

1. Lasketaan osoittajan derivaatta: $\frac{d}{dx}(1) = 0$.
2. Lasketaan nimittäjän derivaatta: $\frac{d}{dx}(x \ln(x)) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$

Nyt meillä on uusi raja-arvo:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{0}{\ln(x) + 1} = 0$

Koska osoittaja pysyy nollana ja nimittäjä kasvaa äärettömäksi, lopputulos on:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x \ln(x)} = 0$

Tämän perusteella vastaus on:

$\boxed{0}$

Haluatko lisätietoja tästä ratkaisusta tai onko sinulla muita kysymyksiä?

Seuraavia kysymyksiä voisi tutkia:

1. Kuinka L'Hospitalin sääntö toimii tarkalleen ottaen?
2. Milloin on suositeltavaa käyttää L'Hospitalin sääntöä raja-arvojen laskemisessa?
3. Voisiko saman raja-arvon ratkaista ilman L'Hospitalin sääntöä?
4. Kuinka ratkaista raja-arvo, jos funktion kasvu on monimutkaisempi?
5. Mitkä ovat yleiset raja-arvon laskemisen virheet?

Vinkki: L'Hospitalin sääntö on erityisen hyödyllinen tilanteissa, joissa raja-arvo on epäselvä ja muodossa $\frac{0}{0}$ tai $\frac{\infty}{\infty}$.