Для решения задачи нахождения траектории световых лучей в среде с переменным коэффициентом преломления $n(x, y)$, необходимо использовать принцип Ферма и уравнения Эйкена (или вариационное исчисление). Световые лучи будут следовать пути, который минимизирует оптическую длину пути.

Оптическая длина пути $S$ выражается как:

$S = \int_{(0,0)}^{(1,1)} n(x, y) \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx.$

Требуется найти такую траекторию $y(x)$, которая минимизирует $S$. Это можно сделать с использованием уравнений Эйкена или через уравнения Лагранжа для функционала.

Подход с использованием уравнения Эйкена

Уравнения для траектории в среде с $n(x, y)$ выглядят следующим образом:

1. $\frac{d}{ds}(n \mathbf{v}) = \nabla n,$ где $\mathbf{v}$ — единичный вектор направления луча, $s$ — длина дуги.

2. Уравнения в декартовых координатах принимают вид: $\frac{d}{ds}(n \frac{dx}{ds}) = \frac{\partial n}{\partial x}, \quad \frac{d}{ds}(n \frac{dy}{ds}) = \frac{\partial n}{\partial y}.$

Это система дифференциальных уравнений второго порядка.

Вариационный подход

Используем лагранжиан: $\mathcal{L} = n(x, y) \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}.$

Уравнение Эйлера-Лагранжа: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y'} = 0,$ где $y' = \frac{dy}{dx}$.

Подставляем $\mathcal{L}$: $\frac{\partial n}{\partial y} \sqrt{1 + y'^2} - \frac{d}{dx} \left( \frac{n y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \right) = 0.$

Это сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для $y(x)$.

Решение

1. Если $n(x, y)$ задан конкретным выражением, уравнения могут быть решены численно.
2. Для численного решения:
   • Задаём начальные условия: $(x_0, y_0) = (0, 0)$, конечные условия: $(x_1, y_1) = (1, 1)$.
   • Используем метод Рунге-Кутты или другой численный метод для интеграции системы уравнений.

Если у вас есть конкретный вид функции $n(x, y)$, предоставьте его, чтобы можно было найти точное или приближённое решение.

---

Дополнительные вопросы:

1. Какой вид функции $n(x, y)$ задан? Например, $n(x, y) = 1 + x^2 + y^2$?
2. Нужен ли вывод численного решения (график траектории)?
3. Рассматривать ли решение в полярных координатах (если это проще)?
4. Требуется ли объяснение физических принципов (например, принципа Ферма)?
5. Хотите ли увидеть реализацию численного решения (например, на Python)?

Совет: для анализа сложных систем с переменным коэффициентом преломления удобно использовать симуляции в программах вроде MATLAB или Python.