Să rezolvăm pas cu pas problema:

---

Date cunoscute:

1. Baza prismei triunghiulare este un triunghi echilateral $ABC$, cu lungimea laturii bazei $a$.
2. Muchia laterală $AA_1$ are lungimea $b$ și formează unghiuri congruente $\alpha$ cu laturile bazei $AB$ și $AC$.

---

a) Aria laterală a prismei

Aria laterală a unei prisme triunghiulare este dată de suma ariilor celor trei dreptunghiuri formate de muchiile laterale cu laturile bazei:

$A_{\text{lateral}} = P_{\text{bază}} \cdot b,$

unde $P_{\text{bază}}$ este perimetrul bazei triunghiului echilateral.

Perimetrul bazei este: $P_{\text{bază}} = 3a.$

Deci: $A_{\text{lateral}} = 3a \cdot b.$

---

b) Înălțimea prismei

Se știe că $AA_1 = b$ și că muchia $AA_1$ formează unghiuri congruente $\alpha$ cu laturile bazei $AB$ și $AC$. Acest lucru ne permite să determinăm înălțimea $h$ a prismei (distanța dintre baza $ABC$ și planul bazei $A_1B_1C_1$).

Proiecția lui $AA_1$ pe planul bazei:

Proiecția lui $b$ pe planul bazei este: $b \cdot \cos(\alpha).$

Cum $AA_1$ este perpendicular pe planul bazei, înălțimea $h$ poate fi determinată folosind relația: $h = b \cdot \sin(\alpha).$

---

Rezultate finale:

1. Aria laterală: $A_{\text{lateral}} = 3a \cdot b.$

2. Înălțimea prismei: $h = b \cdot \sin(\alpha).$

---

Dorești să explic în detaliu aceste calcule sau să extind rezolvarea?

Întrebări suplimentare:

1. Cum putem calcula aria totală a prismei?
2. Cum se modifică aria laterală dacă prisma are o înclinare diferită?
3. Care este volumul prismei și cum poate fi determinat?
4. Ce relație există între unghiul $\alpha$ și aria proiecției bazei pe un plan lateral?
5. Cum se schimbă înălțimea prismei dacă lungimea $b$ sau unghiul $\alpha$ variază?

Tip:

Pentru a verifica proiecțiile geometrice, este util să desenezi prisma și să identifici clar unghiurile formate.