以下是對圖片中問題的中文解題步驟：

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問題1

題目翻譯：
一名短跑運動員在100米賽跑中從靜止開始，以加速度 $A$ 持續加速2秒，然後以恆定速度跑完全程。

• (a) 找出運動員在第2秒結束時的位置（相對於起點的位置）及速度，結果以 $A$ 表示。
• (b) 假設運動員在10秒內完成100米的賽程，求加速度 $A$ 的值（用分數形式，帶上單位）。

解題步驟：

1. 運動公式： 使用運動學公式
   $s = v_0t + \frac{1}{2}at^2$
   $v = v_0 + at$。
   這裡 $v_0 = 0$。

   • 在2秒內，位移 $s_1 = \frac{1}{2} A (2^2)$，即 $s_1 = 2A$。
   • 速度 $v_1 = A \cdot 2$，即 $v_1 = 2A$。

2. 恆速運動： 運動員用剩餘8秒完成100米賽程。加速階段的位移 $s_1 = 2A$，剩餘位移 $s_2 = 100 - 2A$。
   恆速階段的速度為 $v_1 = 2A$。所以 $s_2 = v_1 \cdot 8 = 16A$。

   解方程 $2A + 16A = 100$：
   $18A = 100$，即 $A = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \, \mathrm{m/s^2}$。

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問題2

題目翻譯：
一塊石頭從距水面8米高的橋上以初速度 $v_0$ 並以與鉛直方向成 $36.9^\circ$ 的角度向上拋出。已知重力加速度 $g = 10 \, \mathrm{m/s^2}$。

• (a) 寫出描述石頭水平和垂直位置及速度的方程，並清楚標明坐標系原點。
• (b) 石頭在2秒時達到最高點，該時刻距離水面的高度是多少？

解題步驟：

1. 坐標系選擇：

   • 設橋面為原點，向上為 $y$ 軸正方向，水平方向為 $x$ 軸正方向。

2. 水平運動：
   $x(t) = v_0 \cos(36.9^\circ) \cdot t$，
   $v_x(t) = v_0 \cos(36.9^\circ)$。

3. 垂直運動：
   $y(t) = 8 + v_0 \sin(36.9^\circ) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$，
   $v_y(t) = v_0 \sin(36.9^\circ) - g t$。

4. 求 $v_0$：
   石頭在2秒時達到最高點，垂直速度 $v_y = 0$。解方程：
   $0 = v_0 \sin(36.9^\circ) - 10 \cdot 2$。
   $v_0 = \frac{20}{\sin(36.9^\circ)} \approx 25 \, \mathrm{m/s}$。

5. 求最高點高度：
   $y_\text{max} = 8 + \frac{(v_0 \sin(36.9^\circ))^2}{2g}$。
   $y_\text{max} = 8 + \frac{(25 \cdot \sin(36.9^\circ))^2}{2 \cdot 10} \approx 38 \, \mathrm{m}$。

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問題3

題目翻譯：
石頭以10 $\mathrm{m/s}$ 並與鉛直方向成 $36.9^\circ$ 的角度向下拋出。此時橋下有一艘船以6 $\mathrm{m/s}$ 的速度通過。

• (a) 求石頭對橋上觀察者的初始水平與垂直速度分量。
• (b) 求石頭對船上觀察者的初始速度分量。
• (c) 畫出速度矢量圖，表示速度關係。

解題步驟：

1. 初始速度分量：

   • $v_x = 10 \cos(36.9^\circ) \approx 8 \, \mathrm{m/s}$，
   • $v_y = -10 \sin(36.9^\circ) \approx -6 \, \mathrm{m/s}$。

2. 對船上觀察者：

   • 水平速度相對於船：$v_{x,\text{relative}} = 8 - 6 = 2 \, \mathrm{m/s}$。
   • 垂直速度保持不變：$v_{y,\text{relative}} = -6 \, \mathrm{m/s}$。

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問題4

題目翻譯：
質點的位置由以下方程給出：
$X = A + Bt - Ct^2$，$Y = D + Et - F \cos(Gt)$，$Z = H + F \sin(Gt)$。

• (a) 求加速度的三個分量隨時間的函數。
• (b) 加速度的方向和大小是否與時間無關？解釋。

解題步驟：

1. 求加速度分量：

   • $a_x = \frac{d^2 X}{dt^2} = -2C$，
   • $a_y = \frac{d^2 Y}{dt^2} = -F G^2 \cos(Gt)$，
   • $a_z = \frac{d^2 Z}{dt^2} = F G^2 \sin(Gt)$。

2. 加速度大小和方向：

   • 大小：$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{(-2C)^2 + (-F G^2 \cos(Gt))^2 + (F G^2 \sin(Gt))^2}$。
   • 化簡：$a = \sqrt{4C^2 + F^2 G^4}$，與時間無關。
   • 方向：與 $t$ 有關，因為 $a_y$ 和 $a_z$ 分量是正弦和餘弦函數的函數。

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有其他問題或需要更詳細的解釋嗎？以下是相關延伸問題：

1. 如何推導運動學公式中的位置和速度公式？
2. 在問題2中，為什麼需要計算垂直速度為0的時間？
3. 問題3中的相對速度為什麼可以直接減法計算？
4. 在問題4中，加速度大小與方向的獨立性對物理現象有何意義？
5. 如何繪製問題3的速度矢量圖並標註相對速度關係？

提示： 畫草圖對於理解運動情況非常有幫助！