Untuk menjawab pertanyaan ini dalam bahasa Indonesia, berikut penjelasan langkah-langkahnya:

a. Menentukan nilai $k$ agar $f(y_1, y_2)$ menjadi fungsi kepadatan probabilitas.

Fungsi kepadatan probabilitas harus memenuhi syarat: $\int_0^1 \int_0^1 f(y_1, y_2) \, dy_1 \, dy_2 = 1$ Di mana: $f(y_1, y_2) = k y_1 y_2 \quad \text{untuk } 0 \leq y_1 \leq 1, \, 0 \leq y_2 \leq 1$ Maka: $\int_0^1 \int_0^1 k y_1 y_2 \, dy_1 \, dy_2 = 1$ Langkah integrasi:

1. Integrasikan terhadap $y_1$: $\int_0^1 k y_1 y_2 \, dy_1 = k y_2 \int_0^1 y_1 \, dy_1 = k y_2 \left[\frac{y_1^2}{2}\right]_0^1 = k y_2 \cdot \frac{1}{2}$
2. Integrasikan terhadap $y_2$: $\int_0^1 k y_2 \cdot \frac{1}{2} \, dy_2 = \frac{k}{2} \int_0^1 y_2 \, dy_2 = \frac{k}{2} \left[\frac{y_2^2}{2}\right]_0^1 = \frac{k}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{4}$ Agar integral total bernilai 1: $\frac{k}{4} = 1 \implies k = 4$

Nilai $k = 4$.

b. Fungsi distribusi gabungan ($F_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2)$).

Fungsi distribusi gabungan didefinisikan sebagai: $F_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = P(Y_1 \leq y_1, Y_2 \leq y_2) = \int_0^{y_2} \int_0^{y_1} f(u, v) \, du \, dv$ Dengan $f(y_1, y_2) = 4y_1y_2$, maka: $F_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = \int_0^{y_2} \int_0^{y_1} 4uv \, du \, dv$

1. Integrasikan terhadap $u$: $\int_0^{y_1} 4uv \, du = 4v \int_0^{y_1} u \, du = 4v \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^{y_1} = 4v \cdot \frac{y_1^2}{2} = 2v y_1^2$
2. Integrasikan terhadap $v$: $\int_0^{y_2} 2v y_1^2 \, dv = 2y_1^2 \int_0^{y_2} v \, dv = 2y_1^2 \left[\frac{v^2}{2}\right]_0^{y_2} = 2y_1^2 \cdot \frac{y_2^2}{2} = y_1^2 y_2^2$

Fungsi distribusi gabungan: $F_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = y_1^2 y_2^2 \quad \text{untuk } 0 \leq y_1, y_2 \leq 1$

c. Probabilitas $P(Y_1 \leq 1/2, Y_2 \leq 3/4)$.

Gunakan fungsi distribusi gabungan: $P(Y_1 \leq 1/2, Y_2 \leq 3/4) = F_{Y_1, Y_2}\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ Substitusi $y_1 = \frac{1}{2}$ dan $y_2 = \frac{3}{4}$ ke $F_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = y_1^2 y_2^2$: $F_{Y_1, Y_2}\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{64}$

Probabilitas: $P(Y_1 \leq 1/2, Y_2 \leq 3/4) = \frac{9}{64}$

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ingin membahas bagian tertentu? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk melatih pemahaman:

1. Bagaimana memastikan suatu fungsi adalah fungsi kepadatan probabilitas?
2. Mengapa $k$ harus dihitung menggunakan integral total?
3. Apa perbedaan antara fungsi kepadatan dan fungsi distribusi gabungan?
4. Bagaimana cara menghitung probabilitas dari fungsi distribusi gabungan?
5. Apa hubungan antara fungsi distribusi marginal dan fungsi distribusi gabungan?

Tips: Selalu periksa batas integrasi saat menghitung integral untuk fungsi kepadatan probabilitas!