Jika Y₁ dan Y₂ adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama sbb :

fr1.12(91, 92) = СУ192, 10 Y1 <20,0 < 2 <3 0,

(a) Tentukan c

(b) Hitung P(Y₁ > 15, Y2 <1)

Soal ini menyajikan dua peubah acak kontinu \( Y_1 \) dan \( Y_2 \) dengan fungsi kepekatan peluang bersama \( f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) \). Fungsi ini diberikan sebagai:

\[
f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) = c, \quad 10 < y_1 < 20, \ 0 < y_2 < 3, \ 0 \text{ di tempat lain}.
\]

### (a) Menentukan nilai \( c \)

Agar fungsi kepekatan peluang \( f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) \) valid, kita harus memenuhi syarat bahwa total integral dari fungsi kepekatan peluang bersama ini harus sama dengan 1, yaitu:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) \, dy_1 \, dy_2 = 1.
\]

Karena fungsi kepekatan peluang bernilai \( c \) dalam rentang \( 10 < y_1 < 20 \) dan \( 0 < y_2 < 3 \), integralnya dapat ditulis sebagai:

\[
\int_0^3 \int_{10}^{20} c \, dy_1 \, dy_2 = 1.
\]

Mari kita hitung integralnya:

\[
c \cdot \int_0^3 \int_{10}^{20} 1 \, dy_1 \, dy_2 = 1.
\]

Karena integral terhadap \( y_1 \) adalah panjang interval \( y_1 \), yaitu \( 20 - 10 = 10 \), dan integral terhadap \( y_2 \) adalah panjang interval \( y_2 \), yaitu \( 3 - 0 = 3 \), maka:

\[
c \cdot (10)(3) = 1.
\]

Sehingga:

\[
c = \frac{1}{30}.
\]

### (b) Menghitung \( P(Y_1 > 15, Y_2 < 1) \)

Untuk menghitung probabilitas \( P(Y_1 > 15, Y_2 < 1) \), kita perlu menghitung integral dari \( f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) \) dalam daerah yang sesuai, yaitu \( 15 < y_1 < 20 \) dan \( 0 < y_2 < 1 \). Probabilitas ini dapat ditulis sebagai:

\[
P(Y_1 > 15, Y_2 < 1) = \int_0^1 \int_{15}^{20} f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) \, dy_1 \, dy_2.
\]

Substitusi \( f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) = \frac{1}{30} \):

\[
P(Y_1 > 15, Y_2 < 1) = \frac{1}{30} \int_0^1 \int_{15}^{20} 1 \, dy_1 \, dy_2.
\]

Hitung integral:

\[
P(Y_1 > 15, Y_2 < 1) = \frac{1}{30} \cdot (20 - 15) \cdot (1

Jika Y₁ dan Y₂ adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama sbb : f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) = c, 10 < y_1 < 20, 0 < y_2 < 3, 0 di tempat lain. (a) Tentukan c. (b) Hitung P(Y₁ > 15, Y₂ <1)

Solve a problem involving continuous random variables Y₁ and Y₂ with a given joint probability density function. Learn how to determine the constant c to satisfy the normalization condition and calculate the probability P(Y₁ > 15, Y₂ < 1). Suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation