Determine l’équation de la réciproque de la fonction, sur l’intervalle indiqué, y=2(x-3)^2+4, x est plus petit out égale à 3

Pour déterminer l'équation de la réciproque d'une fonction, on échange les rôles de \( x \) et \( y \), puis on résout pour \( y \). Voici les étapes détaillées pour trouver la réciproque de la fonction \( y = 2(x - 3)^2 + 4 \) lorsque \( x \leq 3 \).

### 1. Échanger \( x \) et \( y \):
\[
x = 2(y - 3)^2 + 4
\]

### 2. Résoudre pour \( y \):
- Soustraire 4 des deux côtés :
\[
x - 4 = 2(y - 3)^2
\]

- Diviser par 2 :
\[
\frac{x - 4}{2} = (y - 3)^2
\]

- Appliquer la racine carrée :
\[
y - 3 = \pm \sqrt{\frac{x - 4}{2}}
\]

### 3. Choisir la bonne racine :
Puisque \( x \leq 3 \) dans la fonction originale, cela signifie que dans la réciproque, on doit choisir la racine négative, car la fonction est décroissante sur l'intervalle donné.

Ainsi :
\[
y - 3 = -\sqrt{\frac{x - 4}{2}}
\]

### 4. Isoler \( y \) :
\[
y = 3 - \sqrt{\frac{x - 4}{2}}
\]

### Conclusion :
L'équation de la réciproque de la fonction \( y = 2(x - 3)^2 + 4 \), sur l'intervalle \( x \leq 3 \), est :
\[
y = 3 - \sqrt{\frac{x - 4}{2}}
\]

### Questions pour approfondir :
1. Comment déterminer si une fonction est bijective sur un intervalle donné ?
2. Pourquoi doit-on choisir la racine négative dans cet exemple ?
3. Quelle est la méthode générale pour trouver la réciproque d'une fonction quadratique ?
4. Comment vérifier si une fonction et sa réciproque sont correctes ?
5. Quelles sont les propriétés d'une fonction décroissante ?

**Conseil** : Lorsque vous travaillez avec des fonctions réciproques, vérifiez toujours que la fonction d'origine est injective (donc inversible) sur l'intervalle considéré.

Determine l’équation de la réciproque de la fonction, sur l’intervalle indiqué, y=2(x-3)^2+4, x est plus petit ou égal à 3.

Explore how to find the inverse of the quadratic function y = 2(x - 3)^2 + 4 on the interval where x ≤ 3. This solution covers core concepts like inverse functions, solving quadratic equations, and handling function restrictions. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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