Pour déterminer l'équation de la réciproque d'une fonction, on échange les rôles de $x$ et $y$, puis on résout pour $y$. Voici les étapes détaillées pour trouver la réciproque de la fonction $y = 2(x - 3)^2 + 4$ lorsque $x \leq 3$.

1. Échanger $x$ et $y$:

$x = 2(y - 3)^2 + 4$

2. Résoudre pour $y$:

• Soustraire 4 des deux côtés : $x - 4 = 2(y - 3)^2$

• Diviser par 2 : $\frac{x - 4}{2} = (y - 3)^2$

• Appliquer la racine carrée : $y - 3 = \pm \sqrt{\frac{x - 4}{2}}$

3. Choisir la bonne racine :

Puisque $x \leq 3$ dans la fonction originale, cela signifie que dans la réciproque, on doit choisir la racine négative, car la fonction est décroissante sur l'intervalle donné.

Ainsi : $y - 3 = -\sqrt{\frac{x - 4}{2}}$

4. Isoler $y$ :

$y = 3 - \sqrt{\frac{x - 4}{2}}$

Conclusion :

L'équation de la réciproque de la fonction $y = 2(x - 3)^2 + 4$, sur l'intervalle $x \leq 3$, est : $y = 3 - \sqrt{\frac{x - 4}{2}}$

Questions pour approfondir :

1. Comment déterminer si une fonction est bijective sur un intervalle donné ?
2. Pourquoi doit-on choisir la racine négative dans cet exemple ?
3. Quelle est la méthode générale pour trouver la réciproque d'une fonction quadratique ?
4. Comment vérifier si une fonction et sa réciproque sont correctes ?
5. Quelles sont les propriétés d'une fonction décroissante ?

Conseil : Lorsque vous travaillez avec des fonctions réciproques, vérifiez toujours que la fonction d'origine est injective (donc inversible) sur l'intervalle considéré.