Cual es la transformada inversa de laplace de: (s²-2s+4)/(s⁴+9s²)

Para calcular la transformada inversa de Laplace de la expresión:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2 - 2s + 4}{s^4 + 9s^2}\right\}
\]

Primero observemos que el denominador se puede factorizar de la siguiente manera:

\[
s^4 + 9s^2 = s^2(s^2 + 9)
\]

Por lo tanto, la expresión original se convierte en:

\[
\frac{s^2 - 2s + 4}{s^2(s^2 + 9)}
\]

Ahora descompondremos en fracciones parciales la expresión:

\[
\frac{s^2 - 2s + 4}{s^2(s^2 + 9)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 9}
\]

Multiplicamos todo por \(s^2(s^2 + 9)\) para eliminar los denominadores:

\[
s^2 - 2s + 4 = A(s)(s^2 + 9) + B(s^2 + 9) + (Cs + D)s^2
\]

Desarrollamos ambos lados de la ecuación:

\[
s^2 - 2s + 4 = A(s^3 + 9s) + B(s^2 + 9) + Cs^3 + Ds^2
\]

Agrupamos términos de potencias de \(s\):

\[
s^2 - 2s + 4 = (A + C)s^3 + (B + D)s^2 + (9A - 2)s + (9B)
\]

Igualamos coeficientes de las potencias de \(s\):

1. Para \(s^3\): \(A + C = 0\)
2. Para \(s^2\): \(B + D = 1\)
3. Para \(s^1\): \(9A - 2 = 0\)
4. Para el término independiente: \(9B = 4\)

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

1. \(A + C = 0 \Rightarrow C = -A\)
2. \(B + D = 1\)
3. \(9A - 2 = 0 \Rightarrow A = \frac{2}{9}\)
4. \(9B = 4 \Rightarrow B = \frac{4}{9}\)

Sustituyendo \(A\) y \(B\) en las ecuaciones restantes:

- \(C = -A = -\frac{2}{9}\)
- De \(B + D = 1\), tenemos \( \frac{4}{9} + D = 1 \Rightarrow D = \frac{5}{9}\)

Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:

\[
\frac{s^2 - 2s + 4}{s^2(s^2 + 9)} = \frac{2/9}{s} + \frac{4/9}{s^2} + \frac{(-2/9)s + 5/9}{s^2 + 9}
\]

Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace a cada término:

1. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2/9}{s}\right\} = \frac{2}{9}\)
2. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4/9}{s^2}\right\} = \frac{4}{9}t\)
3. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-2/9 s}{s^2 + 9}\right\} = \frac{-2}{9} \cos(3t)\)
4. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5/9}{s^2 + 9}\right\} = \frac{5}{9} \sin(3t)\)

Por lo tanto, la transformada inversa de Laplace es:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2 - 2s + 4}{s^4 + 9s^2}\right\} = \frac{2}{9} + \frac{4}{9}t - \frac{2}{9} \cos(3t) + \frac{5}{9} \sin(3t)
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

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**Tip:** Cuando trabajes con fracciones parciales, recuerda verificar si el denominador puede factorizarse para simplificar el proceso de descomposición.

Discover how to calculate the inverse Laplace transform of the expression (s²-2s+4)/(s⁴+9s²) using partial fractions and key Laplace transform properties. Follow a detailed step-by-step solution suitable for advanced calculus students.

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