Para calcular la transformada inversa de Laplace de la expresión:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2 - 2s + 4}{s^4 + 9s^2}\right\}$

Primero observemos que el denominador se puede factorizar de la siguiente manera:

$s^4 + 9s^2 = s^2(s^2 + 9)$

Por lo tanto, la expresión original se convierte en:

$\frac{s^2 - 2s + 4}{s^2(s^2 + 9)}$

Ahora descompondremos en fracciones parciales la expresión:

$\frac{s^2 - 2s + 4}{s^2(s^2 + 9)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 9}$

Multiplicamos todo por $s^2(s^2 + 9)$ para eliminar los denominadores:

$s^2 - 2s + 4 = A(s)(s^2 + 9) + B(s^2 + 9) + (Cs + D)s^2$

Desarrollamos ambos lados de la ecuación:

$s^2 - 2s + 4 = A(s^3 + 9s) + B(s^2 + 9) + Cs^3 + Ds^2$

Agrupamos términos de potencias de $s$:

$s^2 - 2s + 4 = (A + C)s^3 + (B + D)s^2 + (9A - 2)s + (9B)$

Igualamos coeficientes de las potencias de $s$:

1. Para $s^3$: $A + C = 0$
2. Para $s^2$: $B + D = 1$
3. Para $s^1$: $9A - 2 = 0$
4. Para el término independiente: $9B = 4$

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

1. $A + C = 0 \Rightarrow C = -A$
2. $B + D = 1$
3. $9A - 2 = 0 \Rightarrow A = \frac{2}{9}$
4. $9B = 4 \Rightarrow B = \frac{4}{9}$

Sustituyendo $A$ y $B$ en las ecuaciones restantes:

• $C = -A = -\frac{2}{9}$
• De $B + D = 1$, tenemos $\frac{4}{9} + D = 1 \Rightarrow D = \frac{5}{9}$

Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:

$\frac{s^2 - 2s + 4}{s^2(s^2 + 9)} = \frac{2/9}{s} + \frac{4/9}{s^2} + \frac{(-2/9)s + 5/9}{s^2 + 9}$

Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace a cada término:

1. $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2/9}{s}\right\} = \frac{2}{9}$
2. $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4/9}{s^2}\right\} = \frac{4}{9}t$
3. $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-2/9 s}{s^2 + 9}\right\} = \frac{-2}{9} \cos(3t)$
4. $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5/9}{s^2 + 9}\right\} = \frac{5}{9} \sin(3t)$

Por lo tanto, la transformada inversa de Laplace es:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2 - 2s + 4}{s^4 + 9s^2}\right\} = \frac{2}{9} + \frac{4}{9}t - \frac{2}{9} \cos(3t) + \frac{5}{9} \sin(3t)$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

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Tip: Cuando trabajes con fracciones parciales, recuerda verificar si el denominador puede factorizarse para simplificar el proceso de descomposición.