Mari kita telaah langkah-langkah penyelesaian contoh soal ini:

Langkah-Langkah Menentukan Transformasi Laplace Invers:

1. Penyebut dinyatakan dalam bentuk faktor linier
   Fungsi $F(s) = \frac{1}{s^2 - 2s}$ memiliki penyebut $s^2 - 2s$, yang dapat difaktorkan menjadi $s(s - 2)$.

2. Pemisahan dalam bentuk pecahan parsial
   Pecahan $\frac{1}{s(s - 2)}$ dinyatakan sebagai: $\frac{1}{s(s-2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-2}$ Sehingga, setelah mengalikan dengan penyebut bersama $s(s-2)$, diperoleh: $1 = A(s - 2) + Bs$

3. Menentukan konstanta $A$ dan $B$
   Untuk menentukan nilai $A$ dan $B$, substitusi nilai $s$ tertentu:

   • Substitusi $s = 2$: $1 = A(2 - 2) + B(2) \implies 1 = 2B \implies B = \frac{1}{2}$
   • Substitusi $s = 0$: $1 = A(0 - 2) + B(0) \implies 1 = -2A \implies A = -\frac{1}{2}$

   Maka, fungsi dapat ditulis kembali sebagai: $\frac{1}{s(s - 2)} = \frac{-\frac{1}{2}}{s} + \frac{\frac{1}{2}}{s - 2}$

4. Transformasi Laplace Invers
   Menggunakan tabel transformasi Laplace:

   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1$
   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s - a}\right\} = e^{at}$

   Maka, transformasi Laplace invers:

   \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}\right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s - 2}\right\}$$ $$= -\frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot e^{2t}$$ $$= \frac{1}{2}e^{2t} - \frac{1}{2}$$

Jawaban Akhir:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 - 2s}\right\} = \frac{1}{2}e^{2t} - \frac{1}{2}$

---

Pertanyaan Terkait:

1. Apa langkah utama dalam metode pemisahan pecahan parsial?
2. Bagaimana cara menentukan konstanta $A$ dan $B$ secara sistematis?
3. Apa saja tabel transformasi Laplace yang sering digunakan?
4. Bagaimana jika penyebut memiliki faktor kuadrat, bukan linier?
5. Bagaimana penerapan metode ini untuk penyebut dengan lebih dari dua faktor?

Tip:

Selalu cek kembali faktorisasi penyebut dan pastikan Anda mengidentifikasi faktor-faktor linier dengan benar sebelum memulai proses pecahan parsial.