La masa del contenido neto de una bolsa de pistachos sigue una distribución normal con
desviación típica de 25g. Se tomó un lote de 25 bolsas, dando lugar a una media de 500 g. ¿Con
qué nivel de confianza pueden los fabricantes argumentar que el contenido medio de todas
las bolsas está entre 490 y 510 gramos?

Para determinar el nivel de confianza con el que los fabricantes pueden argumentar que el contenido medio de todas las bolsas está entre 490 y 510 gramos, podemos utilizar el intervalo de confianza para la media de una población normalmente distribuida. 

Dado:
- Desviación típica (\(\sigma\)) = 25g
- Tamaño de la muestra (\(n\)) = 25
- Media de la muestra (\(\bar{x}\)) = 500g

Queremos encontrar el nivel de confianza para que el intervalo \([490, 510]\) contenga la media poblacional (\(\mu\)).

### Paso 1: Calcular el error estándar de la media (SEM)
El error estándar de la media es:
\[ SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{25}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5 \]

### Paso 2: Calcular los márgenes del intervalo
El intervalo dado es \([490, 510]\). La media de la muestra es 500g, por lo que la diferencia entre la media de la muestra y los límites del intervalo es:
\[ \text{Margen} = 510 - 500 = 10 \]
\[ \text{Margen} = 500 - 490 = 10 \]

### Paso 3: Determinar el valor crítico \( z \)
El margen de error es 10g, y el error estándar de la media es 5g. Necesitamos encontrar el valor \( z \) tal que:
\[ z \cdot SEM = 10 \]
\[ z \cdot 5 = 10 \]
\[ z = \frac{10}{5} = 2 \]

### Paso 4: Determinar el nivel de confianza
El valor crítico \( z = 2 \) corresponde a un nivel de confianza específico. Para encontrar este nivel de confianza, usamos la tabla de valores \( z \) o una calculadora de distribución normal estándar.

Un valor crítico de \( z = 2 \) corresponde aproximadamente a un nivel de confianza del 95.44%.

### Conclusión
Los fabricantes pueden argumentar con un nivel de confianza del 95.44% que el contenido medio de todas las bolsas está entre 490 y 510 gramos.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento? Aquí hay cinco preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se interpretan los valores \( z \) en la distribución normal estándar?
2. ¿Qué significa el nivel de confianza en términos estadísticos?
3. ¿Cómo se calcula el valor crítico \( z \) para diferentes niveles de confianza?
4. ¿Qué factores afectan el tamaño del intervalo de confianza?
5. ¿Cómo influye el tamaño de la muestra en el error estándar de la media?

**Tip:** En problemas de intervalos de confianza, siempre verifica que los supuestos (como la distribución normal de los datos y el tamaño de la muestra) se cumplan para asegurar resultados precisos.

Aprende cómo determinar el nivel de confianza para afirmar que el contenido medio de bolsas de pistachos está entre 490 y 510 gramos. Este problema aborda conceptos clave como la distribución normal, intervalo de confianza y media muestral. Adecuado para estudiantes en grados 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation