Чтобы найти промежуток сходимости степенного ряда:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{(n+1) 4^n},$

необходимо использовать критерий Коши для сходимости степенного ряда. Для этого применим формулу радиуса сходимости через предел:

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|,$

где $a_n = \frac{(-1)^n}{(n+1) 4^n}$.

1. Определим $a_n$ и $a_{n+1}$: $a_n = \frac{(-1)^n}{(n+1) 4^n}, \quad a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+2) 4^{n+1}}.$

2. Рассчитаем отношение $\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$:

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{\frac{(-1)^n}{(n+1) 4^n}}{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+2) 4^{n+1}}} \right| = \frac{(n+2)}{(n+1)} \cdot 4.$

3. Теперь вычислим предел этого выражения при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)}{(n+1)} \cdot 4 = 4.$

Таким образом, радиус сходимости $R = 4$.

Промежуток сходимости:

Для того чтобы найти промежуток сходимости, нам нужно исследовать поведение ряда на концах интервала $|x| = 4$.

• При $x = 4$: Подставим $x = 4$ в исходный ряд:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n}{(n+1) 4^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}.$

Это ряд Лейбница, который сходится.

• При $x = -4$: Подставим $x = -4$ в исходный ряд:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-4)^n}{(n+1) 4^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}.$

Это ряд гармонический, который расходится.

Таким образом, промежуток сходимости: $(-4, 4]$.

Ответ: Промежуток сходимости данного ряда — $(-4, 4]$.

---

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, дайте знать!

1. Что такое радиус сходимости степенного ряда и как его находить?
2. Как рассчитать поведение ряда на концах промежутка сходимости?
3. В чем заключается критерий Коши для сходимости рядов?
4. Почему гармонический ряд расходится?
5. Как можно ускорить нахождение радиуса сходимости?

Совет: Для ряда с общим членом вида $\frac{a_n}{r^n}$ полезно использовать критерий Даламбера, чтобы сразу понять поведение ряда на концах интервала.