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Para demostrar que las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) tienen el punto \( (-1, -6, 5) \) en común, evaluaremos si existen valores de los parámetros \( t \) para \( L_1 \) y \( s \) para \( L_2 \) que hagan que ambos cumplan con las coordenadas \( x = -1 \), \( y = -6 \), y \( z = 5 \) simultáneamente.

### Paso 1: Sustituir en \( L_1 \)
La ecuación de la recta \( L_1 \) está dada por:
\[
x = 1 + 2t, \quad y = -3 + 3t, \quad z = 4 - t
\]
Sustituyamos \( x = -1 \), \( y = -6 \), y \( z = 5 \) en estas ecuaciones y resolvamos para \( t \).

1. Para \( x = -1 \):
   \[
   -1 = 1 + 2t
   \]
   Resolviendo para \( t \):
   \[
   2t = -2 \Rightarrow t = -1
   \]

2. Para \( y = -6 \):
   \[
   -6 = -3 + 3t
   \]
   Sustituyendo \( t = -1 \):
   \[
   -6 = -3 + 3(-1) = -3 - 3 = -6 \quad (\text{Verdadero})
   \]

3. Para \( z = 5 \):
   \[
   5 = 4 - t
   \]
   Sustituyendo \( t = -1 \):
   \[
   5 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \quad (\text{Verdadero})
   \]

Entonces, el punto \( (-1, -6, 5) \) pertenece a la recta \( L_1 \) cuando \( t = -1 \).

### Paso 2: Sustituir en \( L_2 \)
La ecuación de la recta \( L_2 \) está dada por:
\[
x = 3 - 4s, \quad y = -11 + 5s, \quad z = 6 - s
\]
Sustituyamos \( x = -1 \), \( y = -6 \), y \( z = 5 \) en estas ecuaciones y resolvamos para \( s \).

1. Para \( x = -1 \):
   \[
   -1 = 3 - 4s
   \]
   Resolviendo para \( s \):
   \[
   -4s = -4 \Rightarrow s = 1
   \]

2. Para \( y = -6 \):
   \[
   -6 = -11 + 5s
   \]
   Sustituyendo \( s = 1 \):
   \[
   -6 = -11 + 5(1) = -11 + 5 = -6 \quad (\text{Verdadero})
   \]

3. Para \( z = 5 \):
   \[
   5 = 6 - s
   \]
   Sustituyendo \( s = 1 \):
   \[
   5 = 6 - 1 = 5 \quad (\text{Verdadero})
   \]

Entonces, el punto \( (-1, -6, 5) \) pertenece a la recta \( L_2 \) cuando \( s = 1 \).

### Conclusión
Dado que existen valores de \( t \) y \( s \) (\( t = -1 \) para \( L_1 \) y \( s = 1 \) para \( L_2 \)) que hacen que ambas rectas pasen por el punto \( (-1, -6, 5) \), podemos concluir que **las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) tienen el punto \( (-1, -6, 5) \) en común**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas
1. ¿Qué significa que dos rectas en el espacio tengan un punto en común?
2. ¿Cómo determinar si dos rectas en el espacio son paralelas o se cruzan?
3. ¿Cómo encontrar la intersección de dos rectas dadas en forma paramétrica?
4. ¿Qué ocurre si no encontramos valores de \( t \) y \( s \) que cumplan simultáneamente con todas las coordenadas?
5. ¿Cómo se representa gráficamente la intersección de dos rectas en el espacio tridimensional?

### Tip:
Al verificar puntos en ecuaciones paramétricas, siempre verifica cada componente (x, y, z) para asegurarte de que el punto realmente pertenece a ambas rectas.

Demuestre que las rectas L1: x = 1 + 2t, y = -3 + 3t, z = 4 - t y L2: x = 3 - 4s, y = -11 + 5s, z = 6 - s tienen el punto (-1, -6, 5) en común.

Explore the step-by-step solution to determine if the lines L1: x = 1 + 2t, y = -3 + 3t, z = 4 - t and L2: x = 3 - 4s, y = -11 + 5s, z = 6 - s intersect at the point (-1, -6, 5). Learn about parametric equations and the conditions for line intersections in 3D space. Suitable for high school students studying analytic geometry.

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