Para demostrar que las rectas $L_1$ y $L_2$ tienen el punto $(-1, -6, 5)$ en común, evaluaremos si existen valores de los parámetros $t$ para $L_1$ y $s$ para $L_2$ que hagan que ambos cumplan con las coordenadas $x = -1$, $y = -6$, y $z = 5$ simultáneamente.

Paso 1: Sustituir en $L_1$

La ecuación de la recta $L_1$ está dada por: $x = 1 + 2t, \quad y = -3 + 3t, \quad z = 4 - t$ Sustituyamos $x = -1$, $y = -6$, y $z = 5$ en estas ecuaciones y resolvamos para $t$.

1. Para $x = -1$: $-1 = 1 + 2t$ Resolviendo para $t$: $2t = -2 \Rightarrow t = -1$

2. Para $y = -6$: $-6 = -3 + 3t$ Sustituyendo $t = -1$: $-6 = -3 + 3(-1) = -3 - 3 = -6 \quad (\text{Verdadero})$

3. Para $z = 5$: $5 = 4 - t$ Sustituyendo $t = -1$: $5 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \quad (\text{Verdadero})$

Entonces, el punto $(-1, -6, 5)$ pertenece a la recta $L_1$ cuando $t = -1$.

Paso 2: Sustituir en $L_2$

La ecuación de la recta $L_2$ está dada por: $x = 3 - 4s, \quad y = -11 + 5s, \quad z = 6 - s$ Sustituyamos $x = -1$, $y = -6$, y $z = 5$ en estas ecuaciones y resolvamos para $s$.

1. Para $x = -1$: $-1 = 3 - 4s$ Resolviendo para $s$: $-4s = -4 \Rightarrow s = 1$

2. Para $y = -6$: $-6 = -11 + 5s$ Sustituyendo $s = 1$: $-6 = -11 + 5(1) = -11 + 5 = -6 \quad (\text{Verdadero})$

3. Para $z = 5$: $5 = 6 - s$ Sustituyendo $s = 1$: $5 = 6 - 1 = 5 \quad (\text{Verdadero})$

Entonces, el punto $(-1, -6, 5)$ pertenece a la recta $L_2$ cuando $s = 1$.

Conclusión

Dado que existen valores de $t$ y $s$ ($t = -1$ para $L_1$ y $s = 1$ para $L_2$) que hacen que ambas rectas pasen por el punto $(-1, -6, 5)$, podemos concluir que las rectas $L_1$ y $L_2$ tienen el punto $(-1, -6, 5)$ en común.

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Tip:

Al verificar puntos en ecuaciones paramétricas, siempre verifica cada componente (x, y, z) para asegurarte de que el punto realmente pertenece a ambas rectas.