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Para demostrar que las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) tienen el punto \( (-1, -6, 5) \) en común, debemos verificar si este punto satisface las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación se muestran las ecuaciones dadas para cada recta y el proceso para comprobarlo:

### Recta \( L_1 \):
Las ecuaciones paramétricas son:
\[
x = 1 + 2t
\]
\[
y = -3 + 3t
\]
\[
z = 4 - t
\]

### Recta \( L_2 \):
Las ecuaciones paramétricas son:
\[
x = 3 - 4s
\]
\[
y = -11 + 5s
\]
\[
z = 6 - s
\]

### Paso 1: Verificar si el punto \((-1, -6, 5)\) satisface la ecuación de \( L_1 \)

1. Sustituyendo \( x = -1 \) en \( x = 1 + 2t \):
   \[
   -1 = 1 + 2t
   \]
   \[
   2t = -2 \Rightarrow t = -1
   \]

2. Sustituyendo \( t = -1 \) en la ecuación de \( y \):
   \[
   y = -3 + 3(-1) = -3 - 3 = -6
   \]
   Esto coincide con \( y = -6 \).

3. Sustituyendo \( t = -1 \) en la ecuación de \( z \):
   \[
   z = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5
   \]
   Esto coincide con \( z = 5 \).

El punto \((-1, -6, 5)\) satisface las ecuaciones de la recta \( L_1 \) con \( t = -1 \).

### Paso 2: Verificar si el punto \((-1, -6, 5)\) satisface la ecuación de \( L_2 \)

1. Sustituyendo \( x = -1 \) en \( x = 3 - 4s \):
   \[
   -1 = 3 - 4s
   \]
   \[
   -4 = -4s \Rightarrow s = 1
   \]

2. Sustituyendo \( s = 1 \) en la ecuación de \( y \):
   \[
   y = -11 + 5(1) = -11 + 5 = -6
   \]
   Esto coincide con \( y = -6 \).

3. Sustituyendo \( s = 1 \) en la ecuación de \( z \):
   \[
   z = 6 - 1 = 5
   \]
   Esto coincide con \( z = 5 \).

El punto \((-1, -6, 5)\) también satisface las ecuaciones de la recta \( L_2 \) con \( s = 1 \).

### Conclusión
Dado que el punto \((-1, -6, 5)\) satisface las ecuaciones paramétricas de ambas rectas, podemos concluir que el punto está en común entre \( L_1 \) y \( L_2 \).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

---

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra el vector director de una recta en el espacio a partir de su ecuación paramétrica?
2. ¿Es posible que dos rectas en el espacio tengan más de un punto en común? ¿En qué casos?
3. ¿Qué métodos se utilizan para determinar si dos rectas son paralelas o coincidentes en el espacio?
4. ¿Cómo se calcula la distancia mínima entre dos rectas en el espacio que no se cruzan?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de los parámetros \( t \) y \( s \) en las ecuaciones de las rectas?

#### Tip:
Recuerda que al verificar si un punto está en una recta, solo es necesario que satisfaga las ecuaciones de posición para los valores de los parámetros.

Demuestre que las rectas L1: x = 1 + 2t, y = -3 + 3t, z = 4 - t y L2: x = 3 - 4s, y = -11 + 5s, z = 6 - s tiene el punto (-1, -6, 5) en común.

Explore the step-by-step solution to determine if two lines in 3D space, defined by parametric equations, share a common point. Learn how to substitute and solve for parameters to confirm the intersection point (-1, -6, 5). Suitable for students studying vector geometry and line intersections.

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