Para demostrar que las rectas $L_1$ y $L_2$ tienen el punto $(-1, -6, 5)$ en común, debemos verificar si este punto satisface las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación se muestran las ecuaciones dadas para cada recta y el proceso para comprobarlo:

Recta $L_1$:

Las ecuaciones paramétricas son: $x = 1 + 2t$ $y = -3 + 3t$ $z = 4 - t$

Recta $L_2$:

Las ecuaciones paramétricas son: $x = 3 - 4s$ $y = -11 + 5s$ $z = 6 - s$

Paso 1: Verificar si el punto $(-1, -6, 5)$ satisface la ecuación de $L_1$

1. Sustituyendo $x = -1$ en $x = 1 + 2t$: $-1 = 1 + 2t$ $2t = -2 \Rightarrow t = -1$

2. Sustituyendo $t = -1$ en la ecuación de $y$: $y = -3 + 3(-1) = -3 - 3 = -6$ Esto coincide con $y = -6$.

3. Sustituyendo $t = -1$ en la ecuación de $z$: $z = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$ Esto coincide con $z = 5$.

El punto $(-1, -6, 5)$ satisface las ecuaciones de la recta $L_1$ con $t = -1$.

Paso 2: Verificar si el punto $(-1, -6, 5)$ satisface la ecuación de $L_2$

1. Sustituyendo $x = -1$ en $x = 3 - 4s$: $-1 = 3 - 4s$ $-4 = -4s \Rightarrow s = 1$

2. Sustituyendo $s = 1$ en la ecuación de $y$: $y = -11 + 5(1) = -11 + 5 = -6$ Esto coincide con $y = -6$.

3. Sustituyendo $s = 1$ en la ecuación de $z$: $z = 6 - 1 = 5$ Esto coincide con $z = 5$.

El punto $(-1, -6, 5)$ también satisface las ecuaciones de la recta $L_2$ con $s = 1$.

Conclusión

Dado que el punto $(-1, -6, 5)$ satisface las ecuaciones paramétricas de ambas rectas, podemos concluir que el punto está en común entre $L_1$ y $L_2$.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

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5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de los parámetros $t$ y $s$ en las ecuaciones de las rectas?

Tip:

Recuerda que al verificar si un punto está en una recta, solo es necesario que satisfaga las ecuaciones de posición para los valores de los parámetros.