Решение задачи:

1. Определение типа кривой:

Уравнение $x^2 + 25y^2 = 1$ описывает эллипс.

• Общая форма эллипса:
  $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Здесь $a^2 = 1$, следовательно $a = 1$, и $b^2 = \frac{1}{25}$, следовательно $b = \frac{1}{5}$.

Параметры эллипса:

• Центр: $(0, 0)$
• Главная ось вдоль оси $OX$ (так как $a > b$)
• Длина большой полуоси $a = 1$, длина малой полуоси $b = \frac{1}{5}$.

2. Угловой коэффициент прямой:

Уравнение прямой: $x - 5y = 1$.
Преобразуем в наклонный вид:
$y = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}.$ Угловой коэффициент прямой равен $\frac{1}{5}$.

3. Точки пересечения эллипса и прямой:

Подставим выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение эллипса:
$x^2 + 25\left(\frac{1}{5}x - \frac{1}{5}\right)^2 = 1.$ Раскроем скобки:
$x^2 + 25\left(\frac{x^2}{25} - \frac{2x}{25} + \frac{1}{25}\right) = 1.$ Упростим:
$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 1.$ $2x^2 - 2x + 1 = 1.$ $2x^2 - 2x = 0.$ $2x(x - 1) = 0.$ Корни: $x = 0$ и $x = 1$.

Подставим значения $x$ в уравнение прямой, чтобы найти $y$:

1. Если $x = 0$:
   $y = \frac{1}{5}(0) - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5}.$ Точка: $(0, -\frac{1}{5})$.

2. Если $x = 1$:
   $y = \frac{1}{5}(1) - \frac{1}{5} = 0.$ Точка: $(1, 0)$.

Точки пересечения: $(0, -\frac{1}{5})$ и $(1, 0)$.

4. Построение чертежа:

Для построения:

• Эллипс: центр $(0, 0)$, полуоси $a = 1$, $b = \frac{1}{5}$.
• Прямая: угловой коэффициент $k = \frac{1}{5}$, пересекает ось $y$ в $-\frac{1}{5}$.
• Отметить точки пересечения: $(0, -\frac{1}{5})$ и $(1, 0)$.

Я построю график для визуализации. numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Параметры эллипса

a = 1 b = 1/5

Построение эллипса

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 500) x_ellipse = a * np.cos(theta) y_ellipse = b * np.sin(theta)

Прямая x - 5y = 1

x_line = np.linspace(-1, 2, 500) y_line = (x_line - 1) / 5

Точки пересечения

intersection_points = [(0, -1/5), (1, 0)]

Построение графика

plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x_ellipse, y_ellipse, label="Эллипс $x^2 + 25y^2 = 1$", color='blue') plt.plot(x_line, y_line, label="Прямая $x - 5y = 1$", color='red') plt.scatter(*zip(*intersection_points), color='black', label="Точки пересечения")

Настройки графика

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--') plt.legend() plt.title("График эллипса и прямой") plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.grid() plt.axis('equal') plt.show()График построен. На нем показаны:

1. Эллипс $x^2 + 25y^2 = 1$.
2. Прямая $x - 5y = 1$.
3. Точки пересечения: $(0, -\frac{1}{5})$ и $(1, 0)$.

Если у вас есть вопросы или нужны дополнительные пояснения, дайте знать!

Вопросы для расширения:

1. Хотите более подробный вывод о параметрах эллипса?
2. Нужна помощь с объяснением нахождения углового коэффициента прямой?
3. Интересует пошаговый процесс решения системы уравнений?
4. Желаете увидеть пример применения этой задачи в реальной жизни?
5. Хотите получить чертеж с другим масштабом или детализацией?

Совет:

При решении задач с геометрическими фигурами удобно сначала анализировать тип уравнений, чтобы упростить построение и нахождение пересечений.