Для решения этой задачи нам нужно определить количество элементов в пересечении множеств $(A \times B \times C)$, $(B \times A \times C)$ и $(C \times B \times A)$.

1. Множество A, B, и C: Имеют по 100 элементов.
2. Попарные пересечения: Каждое попарное пересечение $A \cap B$, $B \cap C$, и $A \cap C$ содержит по 50 элементов.
3. Тройное пересечение: Пересечение всех трех множеств $A \cap B \cap C$ содержит 20 элементов.

Для нахождения ответа необходимо определить количество тройных упорядоченных троек, которые принадлежат одновременно множествам $(A \times B \times C)$, $(B \times A \times C)$ и $(C \times B \times A)$. Для этого:

• Пересечение данных множеств будет включать только те элементы, которые принадлежат пересечению всех трех множеств. То есть каждому элементу, общему для множеств $A$, $B$ и $C$, можно сопоставить тройку упорядоченных пар.

В тройном пересечении $A \cap B \cap C$ содержится 20 элементов. Эти 20 элементов могут быть переставлены тремя способами для каждой из троек, так как мы меняем порядок в тройках:

$20 \times 3! = 20 \times 6 = 120$

Таким образом, количество элементов в пересечении $(A \times B \times C) \cap (B \times A \times C) \cap (C \times B \times A)$ равно 120.

---

Желаете узнать больше или есть вопросы?

Вопросы для размышления:

1. Как изменится ответ, если в тройном пересечении будет 30 элементов?
2. Какую роль играет количество элементов в попарных пересечениях?
3. Что произойдет, если множества $A$, $B$, и $C$ не будут иметь одинаковое количество элементов?
4. Как можно обобщить эту задачу для четырёх и более множеств?
5. Как рассчитать мощность декартова произведения для двух и более множеств?

Совет:

Всегда учитывайте свойства множеств, такие как симметрия и транзитивность, при работе с пересечениями и объединениями.