Como interpretar o núcleo de uma matriz?

O **núcleo** (ou kernel) de uma matriz \(A\) é o **conjunto de todos os vetores** \(\mathbf{x}\) que, quando multiplicados pela matriz \(A\), resultam no vetor nulo \(\mathbf{0}\). Matematicamente, o núcleo é o conjunto de soluções do sistema homogêneo \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\).

### Interpretação geométrica:
- O núcleo de uma matriz \(A\) é um **espaço vetorial**.
- Se \(A\) é uma matriz \(m \times n\), então o kernel é um subespaço de \(\mathbb{R}^n\).
- O **dimensão** do kernel é chamada de a **nulidade** de \(A\).
- Um vetor no núcleo de \(A\) representa uma **direção** no espaço vetorial na qual a transformação associada à matriz \(A\) **colapsa** toda a informação para o vetor nulo.

### Casos específicos:
- Se o kernel consiste **apenas no vetor zero** (\(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)), a matriz \(A\) tem posto completo e não colapsa nenhuma direção do espaço vetorial. Neste caso, \(A\) é **injetora** e o sistema \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) tem a única solução trivial.
- Se o kernel contém **mais vetores além do vetor zero**, então \(A\) é uma transformação que **aplica uma compressão** em certas direções, "achatando" o espaço vetorial nessas direções. Nesses casos, o sistema homogêneo tem soluções não triviais, e \(A\) não é de posto completo.

### Exemplo:
Considere o kernel encontrado no sistema que resolvemos:
\[
\mathbf{k} = \

Discover how to interpret the kernel (null space) of a matrix in linear algebra. This explanation covers key concepts such as the kernel, vector spaces, and the rank-nullity theorem. Suitable for university-level students studying linear algebra.

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