O núcleo (ou kernel) de uma matriz $A$ é o conjunto de todos os vetores $\mathbf{x}$ que, quando multiplicados pela matriz $A$, resultam no vetor nulo $\mathbf{0}$. Matematicamente, o núcleo é o conjunto de soluções do sistema homogêneo $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$.

Interpretação geométrica:

• O núcleo de uma matriz $A$ é um espaço vetorial.
• Se $A$ é uma matriz $m \times n$, então o kernel é um subespaço de $\mathbb{R}^n$.
• O dimensão do kernel é chamada de a nulidade de $A$.
• Um vetor no núcleo de $A$ representa uma direção no espaço vetorial na qual a transformação associada à matriz $A$ colapsa toda a informação para o vetor nulo.

Casos específicos:

• Se o kernel consiste apenas no vetor zero ($\mathbf{x} = \mathbf{0}$), a matriz $A$ tem posto completo e não colapsa nenhuma direção do espaço vetorial. Neste caso, $A$ é injetora e o sistema $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ tem a única solução trivial.
• Se o kernel contém mais vetores além do vetor zero, então $A$ é uma transformação que aplica uma compressão em certas direções, "achatando" o espaço vetorial nessas direções. Nesses casos, o sistema homogêneo tem soluções não triviais, e $A$ não é de posto completo.

Exemplo:

Considere o kernel encontrado no sistema que resolvemos: [ \mathbf{k} = \