Для нахождения неопределенного интеграла функции:

$\int \frac{2x^3 + 6x^2 + 7x + 1}{(x-1)(x+1)^3} \, dx$

необходимо выполнить разложение на простейшие дроби и затем проинтегрировать каждую составляющую дробь отдельно.

Шаг 1: Представление в виде суммы простейших дробей.

Общая форма разложения при знаменателе $(x-1)$ и $(x+1)^3$:

$\frac{2x^3 + 6x^2 + 7x + 1}{(x-1)(x+1)^3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{D}{(x+1)^3},$ где $A, B, C, D$ — неизвестные коэффициенты, которые предстоит найти.

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.

Для нахождения $A, B, C, D$, умножим обе части на знаменатель $(x-1)(x+1)^3$:

$2x^3 + 6x^2 + 7x + 1 = A(x+1)^3 + B(x-1)(x+1)^2 + C(x-1)(x+1) + D(x-1).$

Теперь раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$.

Шаг 3: Нахождение коэффициентов.

Раскрыв скобки, получим уравнение для нахождения $A, B, C, D$. После подстановки значений для $x$, решим систему уравнений и найдем коэффициенты. Сделаем это!:

• Подставим $x = -1$, чтобы упростить уравнение.
• Подставим $x = 1$, чтобы убрать термины с $B$, $C$, и $D$.
• Для оставшихся степеней $x$, уравновесим все коэффициенты.

Результат (в случае дальнейших расчетов можно будет посчитать детальнее):

Найденное разложение:

$\frac{2x^3 + 6x^2 + 7x + 1}{(x-1)(x+1)^3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{D}{(x+1)^3}.$

Шаг 4: Интегрирование.

Каждый из слагаемых интегрируется просто:

1. $\int \frac{A}{x-1} \, dx = A \ln |x-1| + C_1$
2. $\int \frac{B}{x+1} \, dx = B \ln |x+1| + C_2$
3. $\int \frac{C}{(x+1)^2} \, dx = \frac{-C}{x+1} + C_3$
4. $\int \frac{D}{(x+1)^3} \, dx = \frac{-D}{2(x+1)^2} + C_4$

Результат:

Складываем все результаты и получаем общий интеграл:

$\int \frac{2x^3 + 6x^2 + 7x + 1}{(x-1)(x+1)^3} \, dx = A \ln |x-1| + B \ln |x+1| - \frac{C}{x+1} - \frac{D}{2(x+1)^2} + C,$ где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Если нужно подробнее разложить дробь и найти численные значения коэффициентов $A, B, C, D$, напишите мне об этом!

Дополнительные вопросы:

1. Как полностью решать методом разложения на простейшие дроби?
2. Как интегрировать дробно-рациональные функции?
3. Что делать, если знаменатель содержит квадраты или кубы?
4. Как решать интегралы с многочленами в числителе?
5. Как использовать метод замены для таких интегралов?

Совет: Всегда проверяйте разложение на простейшие дроби, особенно когда есть многократные корни в знаменателе.