Për të zgjidhur integralin e dhënë:

$\int \frac{x^3 - 2x + 2}{(x - 1)^2(x^2 + 1)} \, dx$

do të ndjekim metodën e dekompozimit të thyesave të pjesshme.

1. Hapi i parë: Dekompozimi i thyesave të pjesshme

Për të thjeshtuar integrimin, kemi nevojë të shkruajmë funksionin si një shumë të thyesave më të thjeshta. Thyesa e dhënë ka dy faktorizime në emërues:

• $(x - 1)^2$ është një polinom kuadratik me rrënjë reale.
• $(x^2 + 1)$ është një polinom kuadratik që nuk ka rrënjë reale.

Dekompozimi i përgjithshëm do të jetë në formën:

$\frac{x^3 - 2x + 2}{(x - 1)^2(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$

2. Hapi i dytë: Gjetja e koeficientëve

Tani do të gjejmë koeficientët $A$, $B$, $C$, dhe $D$ duke e bashkuar thyesën dhe duke zgjidhur sistemin për të përputhur numëruesin.

$x^3 - 2x + 2 = A(x - 1)(x^2 + 1) + B(x^2 + 1) + (Cx + D)(x - 1)^2$

Zgjidhja e këtij sistemi është proces algjebrik që përfshin barazimin e koeficientëve të fuqive të $x$-it në të dy anët.

3. Hapi i tretë: Integrimi

Pasi të gjenden koeficientët $A$, $B$, $C$, dhe $D$, thyesat individuale mund të integrohen lehtësisht:

• Termat me $x - 1$ do të përdorin integrimin e thyesave të thjeshta.
• Termat me $x^2 + 1$ do të përdorin një përzierje të logaritmit natyror dhe funksioneve ark-tangente.

4. Përfundimi

Integrali do të jetë shuma e integraleve individuale për secilin term të dekompozimit. Për të vazhduar më tej, do të kryejmë procesin për të gjetur vlerat specifike të koeficientëve.

Dëshiron të vazhdojmë me zgjidhjen e plotë të sistemit për koeficientët, apo ke pyetje të tjera mbi këtë procedurë?

Pyetje të ngjashme:

1. Si mund të zbërthejmë një integral me rrënjë kubike në emërues?
2. Si integrohen funksionet kuadratike në formë të përgjithshme?
3. Çfarë teknike përdoret për të integruar një funksion racional pa faktorizime reale?
4. Si përdorim funksionet trigonometrike për integrale me emërues kuadratik?
5. Si dekompozohen integralet me shumë terma në emërues?

Këshillë: Gjithmonë kontrollo nëse një funksion mund të shkruhet si shumë thyesash të thjeshta para se të kalosh në hapa të integrimit.