Considere la integral

integral fracción numerador ln abrir paréntesis 10 espacio x cerrar paréntesis entre denominador x elevado a 6 fin elevado fin fracción d x

Al realizar la regla de integración por partes asignando como u igual ln abrir paréntesis 10 espacio x cerrar paréntesis, la anterior integral se convierte en:

F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho más integral G paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio d x

La función F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta

La función G paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta

La integral propuesta es:

\[
\int \frac{\ln(10x)}{x^6} \, dx
\]

Se sugiere realizar la integración por partes. Para ello, asignamos:

- \( u = \ln(10x) \), por lo que \( du = \frac{1}{x} \, dx \),
- \( dv = \frac{1}{x^6} \, dx \), por lo que \( v = -\frac{1}{5x^5} \).

La fórmula de integración por partes es:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

### Paso 1: Calcular \( F(x) = uv \)

Multiplicamos \( u \) y \( v \):

\[
F(x) = \ln(10x) \cdot \left( -\frac{1}{5x^5} \right) = -\frac{\ln(10x)}{5x^5}
\]

Por lo tanto, la función \( F(x) \) es:

\[
F(x) = -\frac{\ln(10x)}{5x^5}
\]

### Paso 2: Calcular la nueva integral \( \int G(x) \, dx \)

Ahora, calculamos la integral restante \( \int v \, du \):

\[
\int v \, du = \int \left( -\frac{1}{5x^5} \right) \cdot \left( \frac{1}{x} \right) dx = \int -\frac{1}{5x^6} \, dx
\]

Esta es una integral sencilla:

\[
\int -\frac{1}{5x^6} \, dx = \frac{1}{25x^5}
\]

Por lo tanto, la función \( G(x) \) es:

\[
G(x) = \frac{1}{25x^5}
\]

### Resumen:

- La función \( F(x) \) es: \( F(x) = -\frac{\ln(10x)}{5x^5} \)
- La función \( G(x) \) es: \( G(x) = \frac{1}{25x^5} \)

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o algún paso específico? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para seguir practicando:

1. ¿Qué ocurre si se cambia el logaritmo a una base distinta?
2. ¿Cómo cambiaría la integral si en lugar de \( x^6 \) fuese \( x^n \)?
3. ¿Qué otras técnicas de integración pueden aplicar para funciones con logaritmos?
4. ¿Cuál sería la integral de \( \ln(x) \) sin el término adicional en el denominador?
5. ¿Cómo se aplica la regla del cambio de variable en este caso?

**Tip:** La integración por partes es útil cuando una de las funciones en el producto se simplifica al derivarla repetidamente, mientras que la otra es fácilmente integrable.

Explore the step-by-step solution to the integral ∫ ln(10x)/x^6 dx using integration by parts. This solution breaks down key mathematical concepts such as logarithmic functions and the integration by parts formula, suitable for undergraduate mathematics students.

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