La integral propuesta es:

$\int \frac{\ln(10x)}{x^6} \, dx$

Se sugiere realizar la integración por partes. Para ello, asignamos:

• $u = \ln(10x)$, por lo que $du = \frac{1}{x} \, dx$,
• $dv = \frac{1}{x^6} \, dx$, por lo que $v = -\frac{1}{5x^5}$.

La fórmula de integración por partes es:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Paso 1: Calcular $F(x) = uv$

Multiplicamos $u$ y $v$:

$F(x) = \ln(10x) \cdot \left( -\frac{1}{5x^5} \right) = -\frac{\ln(10x)}{5x^5}$

Por lo tanto, la función $F(x)$ es:

$F(x) = -\frac{\ln(10x)}{5x^5}$

Paso 2: Calcular la nueva integral $\int G(x) \, dx$

Ahora, calculamos la integral restante $\int v \, du$:

$\int v \, du = \int \left( -\frac{1}{5x^5} \right) \cdot \left( \frac{1}{x} \right) dx = \int -\frac{1}{5x^6} \, dx$

Esta es una integral sencilla:

$\int -\frac{1}{5x^6} \, dx = \frac{1}{25x^5}$

Por lo tanto, la función $G(x)$ es:

$G(x) = \frac{1}{25x^5}$

Resumen:

• La función $F(x)$ es: $F(x) = -\frac{\ln(10x)}{5x^5}$
• La función $G(x)$ es: $G(x) = \frac{1}{25x^5}$

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o algún paso específico?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para seguir practicando:

1. ¿Qué ocurre si se cambia el logaritmo a una base distinta?
2. ¿Cómo cambiaría la integral si en lugar de $x^6$ fuese $x^n$?
3. ¿Qué otras técnicas de integración pueden aplicar para funciones con logaritmos?
4. ¿Cuál sería la integral de $\ln(x)$ sin el término adicional en el denominador?
5. ¿Cómo se aplica la regla del cambio de variable en este caso?

Tip: La integración por partes es útil cuando una de las funciones en el producto se simplifica al derivarla repetidamente, mientras que la otra es fácilmente integrable.