Math Problem Statement

Halle la siguiente integral

Solution

La integral que deseas resolver es:

4tan(4x)2dx\int \frac{4 \tan(4x)}{2} \, dx

Primero, podemos simplificar la expresión dentro de la integral:

4tan(4x)2dx=2tan(4x)dx\int \frac{4 \tan(4x)}{2} \, dx = \int 2 \tan(4x) \, dx

Ahora, podemos resolver la integral de 2tan(4x)2 \tan(4x) con respecto a xx.

Usamos el hecho de que la integral de tan(u)\tan(u) con respecto a uu es lncos(u)-\ln|\cos(u)|. Aquí, u=4xu = 4x, por lo que du=4dxdu = 4 \, dx, lo que implica que dx=14dudx = \frac{1}{4} du.

Entonces, la integral se convierte en:

2tan(4x)dx=2tan(4x)dx\int 2 \tan(4x) \, dx = 2 \int \tan(4x) \, dx

Ahora resolvemos la integral:

2tan(4x)dx=2(14lncos(4x))+C2 \int \tan(4x) \, dx = 2 \cdot \left( -\frac{1}{4} \ln|\cos(4x)| \right) + C

Simplificando:

12lncos(4x)+C-\frac{1}{2} \ln|\cos(4x)| + C

Por lo tanto, la solución final es:

4tan(4x)2dx=12lncos(4x)+C\int \frac{4 \tan(4x)}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \ln|\cos(4x)| + C

¿Deseas más detalles sobre este procedimiento o tienes alguna otra pregunta?

Preguntas Relacionadas:

  1. ¿Cómo se resuelve la integral de tan(kx)\tan(kx) en general?
  2. ¿Qué otras integrales se pueden resolver utilizando el método de sustitución?
  3. ¿Qué ocurre si en vez de tan(4x)\tan(4x) la función fuera cot(4x)\cot(4x)?
  4. ¿Cómo se podría resolver esta integral utilizando una tabla de integrales?
  5. ¿Qué papel juega la constante de integración CC en la solución de una integral indefinida?

Consejo:

Es útil recordar las integrales básicas de funciones trigonométricas como tan(x)\tan(x) y sec(x)\sec(x), ya que aparecen frecuentemente en cálculos más complejos.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Integral Calculus
Trigonometric Integrals

Formulas

Integral of tan(u) = -ln|cos(u)|

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced Mathematics