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La integral que deseas resolver es:

\[
\int \frac{4 \tan(4x)}{2} \, dx
\]

Primero, podemos simplificar la expresión dentro de la integral:

\[
\int \frac{4 \tan(4x)}{2} \, dx = \int 2 \tan(4x) \, dx
\]

Ahora, podemos resolver la integral de \( 2 \tan(4x) \) con respecto a \( x \).

Usamos el hecho de que la integral de \(\tan(u)\) con respecto a \(u\) es \(-\ln|\cos(u)|\). Aquí, \( u = 4x \), por lo que \( du = 4 \, dx \), lo que implica que \( dx = \frac{1}{4} du \).

Entonces, la integral se convierte en:

\[
\int 2 \tan(4x) \, dx = 2 \int \tan(4x) \, dx
\]

Ahora resolvemos la integral:

\[
2 \int \tan(4x) \, dx = 2 \cdot \left( -\frac{1}{4} \ln|\cos(4x)| \right) + C
\]

Simplificando:

\[
-\frac{1}{2} \ln|\cos(4x)| + C
\]

Por lo tanto, la solución final es:

\[
\int \frac{4 \tan(4x)}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \ln|\cos(4x)| + C
\]

¿Deseas más detalles sobre este procedimiento o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve la integral de \( \tan(kx) \) en general?
2. ¿Qué otras integrales se pueden resolver utilizando el método de sustitución?
3. ¿Qué ocurre si en vez de \( \tan(4x) \) la función fuera \( \cot(4x) \)?
4. ¿Cómo se podría resolver esta integral utilizando una tabla de integrales?
5. ¿Qué papel juega la constante de integración \( C \) en la solución de una integral indefinida?

### Consejo:
Es útil recordar las integrales básicas de funciones trigonométricas como \(\tan(x)\) y \(\sec(x)\), ya que aparecen frecuentemente en cálculos más complejos.

Learn how to integrate the expression 4 tan(4x) / 2 step-by-step with detailed explanations and examples. This problem involves trigonometric integrals and uses the integral formula for tan(u). Suitable for advanced mathematics students.

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