Vi vill beräkna integralen

$\int \frac{x^3}{4 + x^2} \, dx.$

Steg 1: Substitutionsmetod

Låt oss prova en substitution. Vi sätter:

$u = 4 + x^2,$

vilket ger att

$\frac{du}{dx} = 2x \quad \text{eller} \quad du = 2x \, dx.$

Nu uttrycker vi integralen i termer av $u$. Observera att $x^3 = x \cdot x^2$, och eftersom $x^2 = u - 4$, kan vi omskriva integranden som:

$x^3 = x \cdot (u - 4).$

Steg 2: Omskrivning av integralen

Vi delar upp integralen:

$\int \frac{x^3}{u} dx = \int \frac{x(u - 4)}{u} dx.$

Vi använder nu substitutionen $du = 2x dx$, vilket ger:

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u} \, du = \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{4}{u} \right) \, du.$

Steg 3: Integrering

Nu kan vi enkelt integrera:

$\frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{4}{u} \right) \, du = \frac{1}{2} \left( u - 4 \ln |u| \right) + C.$

Steg 4: Återgång till $x$

Slutligen, ersätt $u = 4 + x^2$ tillbaka i uttrycket:

$\frac{1}{2} \left( 4 + x^2 - 4 \ln |4 + x^2| \right) + C.$

Förenkla uttrycket:

$\boxed{\frac{x^2}{2} - 2 \ln |4 + x^2| + C.}$

Detta är det slutgiltiga svaret.

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor?

Här är 5 relaterade frågor:

1. Hur fungerar substitutionsmetoden vid integration?
2. Kan denna integral lösas på ett annat sätt, till exempel partiell integration?
3. Hur påverkas integralen om konstanten i nämnaren ändras från 4 till en annan konstant?
4. Vilka andra substitutioner kan vara användbara för liknande integraler?
5. Vad är en allmän strategi för att hantera rationella funktioner i integration?

Tips: För svårare integraler kan det hjälpa att först prova substitution och se om det förenklar integranden!