Vi vill beräkna integralen

\[
\int \frac{x^3}{4 + x^2} \, dx.
\]

### Steg 1: Substitutionsmetod
Låt oss prova en substitution. Vi sätter:

\[
u = 4 + x^2,
\]

vilket ger att

\[
\frac{du}{dx} = 2x \quad \text{eller} \quad du = 2x \, dx.
\]

Nu uttrycker vi integralen i termer av \( u \). Observera att \( x^3 = x \cdot x^2 \), och eftersom \( x^2 = u - 4 \), kan vi omskriva integranden som:

\[
x^3 = x \cdot (u - 4).
\]

### Steg 2: Omskrivning av integralen
Vi delar upp integralen:

\[
\int \frac{x^3}{u} dx = \int \frac{x(u - 4)}{u} dx.
\]

Vi använder nu substitutionen \( du = 2x dx \), vilket ger:

\[
\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u} \, du = \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{4}{u} \right) \, du.
\]

### Steg 3: Integrering
Nu kan vi enkelt integrera:

\[
\frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{4}{u} \right) \, du = \frac{1}{2} \left( u - 4 \ln |u| \right) + C.
\]

### Steg 4: Återgång till \( x \)
Slutligen, ersätt \( u = 4 + x^2 \) tillbaka i uttrycket:

\[
\frac{1}{2} \left( 4 + x^2 - 4 \ln |4 + x^2| \right) + C.
\]

Förenkla uttrycket:

\[
\boxed{\frac{x^2}{2} - 2 \ln |4 + x^2| + C.}
\]

Detta är det slutgiltiga svaret.

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor?

Här är 5 relaterade frågor:
1. Hur fungerar substitutionsmetoden vid integration?
2. Kan denna integral lösas på ett annat sätt, till exempel partiell integration?
3. Hur påverkas integralen om konstanten i nämnaren ändras från 4 till en annan konstant?
4. Vilka andra substitutioner kan vara användbara för liknande integraler?
5. Vad är en allmän strategi för att hantera rationella funktioner i integration?

**Tips**: För svårare integraler kan det hjälpa att först prova substitution och se om det förenklar integranden!

Learn how to calculate the integral ∫ x^3 / (4 + x^2) dx using the substitution method. This step-by-step guide covers the substitution rule, integration techniques, and simplifying rational functions. Suitable for undergraduate students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation