Aby wykonać całkowanie wyrażenia:
$\int \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{x})^2}{\sqrt{3}x} \, dx$ przy zamianie $\sqrt{x} = t$, postępujemy w następujący sposób:

---

Krok 1: Podstawienie

Zdefiniuj: $\sqrt{x} = t \implies x = t^2 \quad \text{oraz} \quad dx = 2t \, dt$

---

Krok 2: Przekształcenie całki

Po podstawieniu, wyrażenie $\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{x})^2}{\sqrt{3}x}$ staje się: $\sqrt{x} = t, \quad \text{więc} \quad \frac{(\sqrt{3} + t)^2}{\sqrt{3}t^2} \cdot 2t \, dt$

Uprośćmy to krok po kroku: $\frac{(\sqrt{3} + t)^2}{\sqrt{3}t^2} \cdot 2t = \frac{2t (\sqrt{3} + t)^2}{\sqrt{3}t^2}$ $= \frac{2 (\sqrt{3} + t)^2}{\sqrt{3}t}.$

Całka przyjmuje formę: $\int \frac{2(\sqrt{3} + t)^2}{\sqrt{3}t} \, dt$

---

Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia w liczniku

Rozwińmy $(\sqrt{3} + t)^2$: $(\sqrt{3} + t)^2 = 3 + 2\sqrt{3}t + t^2.$

Podstawiając to do całki: $\int \frac{2(3 + 2\sqrt{3}t + t^2)}{\sqrt{3}t} \, dt$

Rozdzielmy na sumę ułamków: $\int \frac{6}{\sqrt{3}t} \, dt + \int \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \, dt + \int \frac{2t^2}{\sqrt{3}t} \, dt.$

---

Krok 4: Całkowanie poszczególnych składników

1. Pierwszy składnik: $\int \frac{6}{\sqrt{3}t} \, dt = \frac{6}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{t} \, dt = 2\sqrt{3} \ln|t|.$

2. Drugi składnik: $\int \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \, dt = \int 4 \, dt = 4t.$

3. Trzeci składnik: $\int \frac{2t^2}{\sqrt{3}t} \, dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \int t \, dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{t^2}{\sqrt{3}}.$

---

Krok 5: Złożenie wyniku

Sumujemy wyniki: $2\sqrt{3} \ln|t| + 4t + \frac{t^2}{\sqrt{3}} + C,$ gdzie $C$ jest stałą całkowania.

---

Krok 6: Powrót do zmiennej $x$

Przypomnijmy, że $t = \sqrt{x}$. Zatem: $\ln|t| = \ln|\sqrt{x}| = \frac{1}{2} \ln|x|,$ $t^2 = x, \quad t = \sqrt{x}.$

Ostatecznie: $\int \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{x})^2}{\sqrt{3}x} \, dx = 2\sqrt{3} \ln|x| + 4\sqrt{x} + \frac{x}{\sqrt{3}} + C.$

---

Czy chcesz szczegóły któregoś kroku lub pomoc w interpretacji wyniku?

---

Powiązane pytania:

1. Jakie inne podstawienia można stosować w takich całkach?
2. Jak rozwiązywać całki z logarytmami lub pierwiastkami?
3. Jak działa metoda podstawienia w całkowaniu nieoznaczonym?
4. Jak uprościć wynik przy użyciu ułamków?
5. Jakie inne techniki oprócz podstawienia mogą pomóc w tego typu problemach?

Porada: Kiedy podstawiasz zmienne, zawsze pamiętaj o zamianie zarówno $x$, jak i $dx$, aby nie popełnić błędu w jednostkach.