برای محاسبه انتگرال $\int \text{sech}(x) \, dx$، از تکنیک ضرب و تقسیم استفاده می‌کنیم و سپس با تغییر متغیر، به جواب می‌رسیم.

1. فرم اولیه انتگرال

ما باید:

$\int \text{sech}(x) \, dx$

را حساب کنیم. یکی از راه‌های رایج حل این انتگرال، استفاده از یک تغییر متغیر هوشمندانه است.

2. ضرب و تقسیم بر $\text{sech}(x) + \tanh(x)$

راه مناسب برای حل این انتگرال، ضرب و تقسیم عبارت زیر است:

$\int \text{sech}(x) \, dx = \int \frac{\text{sech}(x) \cdot (\text{sech}(x) + \tanh(x))}{\text{sech}(x) + \tanh(x)} \, dx$

که باعث ساده‌سازی می‌شود. حالا به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$= \int \frac{\text{sech}^2(x) + \text{sech}(x) \cdot \tanh(x)}{\text{sech}(x) + \tanh(x)} \, dx$

3. تغییر متغیر

حالا تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$u = \text{sech}(x) + \tanh(x)$

مشتق $u$ به صورت زیر است:

$\frac{du}{dx} = -\text{sech}(x) \cdot \tanh(x) + \text{sech}^2(x) = \text{sech}(x)$

پس:

$du = \text{sech}(x) \, dx$

4. انتگرال ساده‌شده

با جایگذاری این تغییر متغیر، انتگرال به صورت زیر در می‌آید:

$\int \frac{du}{u}$

این انتگرال برابر است با:

$\ln|u| + C$

5. بازگشت به متغیر $x$

حال باید به متغیر $x$ بازگردیم. از آنجا که $u = \text{sech}(x) + \tanh(x)$، نتیجه نهایی انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$\int \text{sech}(x) \, dx = \ln|\text{sech}(x) + \tanh(x)| + C$

نتیجه نهایی:

$\int \text{sech}(x) \, dx = \ln|\text{sech}(x) + \tanh(x)| + C$

این جواب نهایی برای انتگرال $\text{sech}(x)$ است.

توضیحات بیشتر:

1. تغییر متغیر: استفاده از تغییر متغیر هوشمندانه به ما کمک کرد تا انتگرال را ساده‌تر کنیم.
2. نتیجه: انتگرال تابع $\text{sech}(x)$ به تابع لگاریتمی تبدیل شد که معمولاً در انتگرال‌های مربوط به توابع هایپربولیک مشاهده می‌شود.

آیا سوال دیگری دارید؟

در ادامه 5 سوال مرتبط برای بررسی و مطالعه بیشتر:

1. چگونه می‌توان از سایر تغییر متغیرها برای حل انتگرال‌های مشابه استفاده کرد؟
2. چه هویت‌های دیگری در توابع هایپربولیک برای انتگرال‌گیری وجود دارند؟
3. تفاوت بین توابع هایپربولیک و مثلثاتی در محاسبات انتگرال چیست؟
4. چگونه می‌توان از این انتگرال در مسائل کاربردی مانند فیزیک استفاده کرد؟
5. چگونه سایر توابع هایپربولیک را انتگرال‌گیری کنیم؟

نکته: توابع هایپربولیک در بسیاری از مسائل مهندسی و فیزیکی کاربرد دارند و تسلط بر انتگرال‌های آنها می‌تواند در این حوزه‌ها بسیار مفید باشد.