انتگرال sechxdx را با جزئیات کامل حساب کن

برای محاسبه انتگرال \(\int \text{sech}(x) \, dx\)، از تکنیک ضرب و تقسیم استفاده می‌کنیم و سپس با تغییر متغیر، به جواب می‌رسیم.

### 1. **فرم اولیه انتگرال**

ما باید:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx
\]

را حساب کنیم. یکی از راه‌های رایج حل این انتگرال، استفاده از یک تغییر متغیر هوشمندانه است.

### 2. **ضرب و تقسیم بر \(\text{sech}(x) + \tanh(x)\)**

راه مناسب برای حل این انتگرال، ضرب و تقسیم عبارت زیر است:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx = \int \frac{\text{sech}(x) \cdot (\text{sech}(x) + \tanh(x))}{\text{sech}(x) + \tanh(x)} \, dx
\]

که باعث ساده‌سازی می‌شود. حالا به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

\[
= \int \frac{\text{sech}^2(x) + \text{sech}(x) \cdot \tanh(x)}{\text{sech}(x) + \tanh(x)} \, dx
\]

### 3. **تغییر متغیر**

حالا تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

\[
u = \text{sech}(x) + \tanh(x)
\]

مشتق \( u \) به صورت زیر است:

\[
\frac{du}{dx} = -\text{sech}(x) \cdot \tanh(x) + \text{sech}^2(x) = \text{sech}(x)
\]

پس:

\[
du = \text{sech}(x) \, dx
\]

### 4. **انتگرال ساده‌شده**

با جایگذاری این تغییر متغیر، انتگرال به صورت زیر در می‌آید:

\[
\int \frac{du}{u}
\]

این انتگرال برابر است با:

\[
\ln|u| + C
\]

### 5. **بازگشت به متغیر \(x\)**

حال باید به متغیر \(x\) بازگردیم. از آنجا که \(u = \text{sech}(x) + \tanh(x)\)، نتیجه نهایی انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx = \ln|\text{sech}(x) + \tanh(x)| + C
\]

### نتیجه نهایی:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx = \ln|\text{sech}(x) + \tanh(x)| + C
\]

این جواب نهایی برای انتگرال \(\text{sech}(x)\) است.

### توضیحات بیشتر:

1. **تغییر متغیر**: استفاده از تغییر متغیر هوشمندانه به ما کمک کرد تا انتگرال را ساده‌تر کنیم.
2. **نتیجه**: انتگرال تابع \(\text{sech}(x)\) به تابع لگاریتمی تبدیل شد که معمولاً در انتگرال‌های مربوط به توابع هایپربولیک مشاهده می‌شود.

آیا سوال دیگری دارید؟

در ادامه 5 سوال مرتبط برای بررسی و مطالعه بیشتر:
1. چگونه می‌توان از سایر تغییر متغیرها برای حل انتگرال‌های مشابه استفاده کرد؟
2. چه هویت‌های دیگری در توابع هایپربولیک برای انتگرال‌گیری وجود دارند؟
3. تفاوت بین توابع هایپربولیک و مثلثاتی در محاسبات انتگرال چیست؟
4. چگونه می‌توان از این انتگرال در مسائل کاربردی مانند فیزیک استفاده کرد؟
5. چگونه سایر توابع هایپربولیک را انتگرال‌گیری کنیم؟

**نکته:** توابع هایپربولیک در بسیاری از مسائل مهندسی و فیزیکی کاربرد دارند و تسلط بر انتگرال‌های آنها می‌تواند در این حوزه‌ها بسیار مفید باشد.

Explore the detailed solution of the integral \( \int \text{sech}(x) \, dx \) using substitution and integration techniques. Learn how hyperbolic functions are simplified to logarithmic functions. This solution is suitable for university students in Calculus II or higher.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation