נחשב את האינטגרל:
$I = \int \arcsin(\sqrt{x}) \, dx$

שלב 1: שינוי משתנים

נגדיר: $t = \arcsin(\sqrt{x})$ לכן: $\sin t = \sqrt{x} \Rightarrow x = \sin^2 t$

נגזור: $dx = 2\sin t \cos t \, dt = \sin 2t \, dt$

שלב 2: הצבת השינוי

נציב את הביטויים ב-$I$:

$I = \int t \sin 2t \, dt$

שלב 3: אינטגרציה בחלקים

נבחר:

• $u = t \Rightarrow du = dt$
• $dv = \sin 2t \, dt \Rightarrow v = -\frac{1}{2} \cos 2t$

נשתמש בנוסחה לאינטגרציה בחלקים: $\int u dv = uv - \int v du$

$I = -\frac{1}{2} t \cos 2t + \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt$

נחשב את האינטגרל הנותר: $\int \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \sin 2t$

לכן: $I = -\frac{1}{2} t \cos 2t + \frac{1}{4} \sin 2t + C$

שלב 4: חזרה למשתנה $x$

נחזיר את $t = \arcsin(\sqrt{x})$, כלומר: $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t = 1 - 2x$ $\sin 2t = 2\sin t \cos t = 2\sqrt{x} \sqrt{1-x} = 2\sqrt{x(1-x)}$

לכן: $I = -\frac{1}{2} \arcsin(\sqrt{x}) (1 - 2x) + \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{x(1-x)} + C$

$I = -\frac{1}{2} (1 - 2x) \arcsin(\sqrt{x}) + \frac{1}{2} \sqrt{x(1-x)} + C$

תשובה סופית:

$\int \arcsin(\sqrt{x}) \, dx = -\frac{1}{2} (1 - 2x) \arcsin(\sqrt{x}) + \frac{1}{2} \sqrt{x(1-x)} + C$

רוצה שאסביר משהו יותר בפירוט?

שאלות להרחבה:

1. איך מבצעים אינטגרציה בחלקים באופן כללי?
2. מה השימושים של פונקציית $\arcsin$ באנליזה מתמטית?
3. מהם שינויי משתנים נפוצים באינטגרלים?
4. איך מחשבים אינטגרלים טריגונומטריים נוספים?
5. איך נגזרות פונקציות הופכיות כמו $\arcsin(x)$ עוזרות באינטגרלים?

טיפ:

לפני שמתחילים אינטגרל מסובך, נסה לבדוק אם שינוי משתנים מתאים יכול לפשט את החישוב.