La integral entre -20 y 20 de (20 cosh (x/20) dx)

Para resolver la integral definida de \( \int_{-20}^{20} 20 \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \, dx \), sigamos estos pasos:

1. **Simplificación de la integral**:  
   La constante \( 20 \) puede ser factorizada fuera de la integral:
   \[
   \int_{-20}^{20} 20 \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \, dx = 20 \int_{-20}^{20} \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \, dx
   \]

2. **Integración de \( \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \)**:  
   La función \( \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \) se integra como sigue:
   \[
   \int \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \, dx = 20 \sinh\left(\frac{x}{20}\right)
   \]

3. **Evaluación de la integral definida**:  
   Ahora, evaluamos la integral desde \( -20 \) hasta \( 20 \):
   \[
   20 \int_{-20}^{20} \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \, dx = 20 \left[ 20 \sinh\left(\frac{x}{20}\right) \right]_{-20}^{20}
   \]
   Sustituyendo los límites de integración:
   \[
   20 \times 20 \left[\sinh\left(1\right) - \sinh\left(-1\right)\right]
   \]

4. **Simplificación final**:  
   Dado que \( \sinh(-x) = -\sinh(x) \), tenemos:
   \[
   \sinh(1) - \sinh(-1) = \sinh(1) + \sinh(1) = 2\sinh(1)
   \]
   Entonces, la integral se simplifica a:
   \[
   20 \times 20 \times 2 \sinh(1) = 800 \sinh(1)
   \]

Por lo tanto, la integral es:
\[
\int_{-20}^{20} 20 \cosh\left(\frac{x}{20}\right) \, dx = 800 \sinh(1)
\]

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo se integra la función \( \cosh(x) \) en general?
2. ¿Cuál es la relación entre las funciones \( \sinh(x) \) y \( \cosh(x) \)?
3. ¿Cómo afecta la simetría de \( \cosh(x) \) a la integración?
4. ¿Qué propiedades de las funciones hiperbólicas facilitan la integración?
5. ¿Cómo se podría aplicar este tipo de integral en un contexto físico o de ingeniería?

**Tip**: Las funciones hiperbólicas \( \sinh(x) \) y \( \cosh(x) \) están estrechamente relacionadas con las funciones trigonométricas, pero aplicadas en un contexto hiperbólico en lugar de uno circular.

Explore the step-by-step solution to evaluate the definite integral of 20 cosh(x/20) from -20 to 20. This problem involves the integration of hyperbolic cosine function and demonstrates its application in calculus. Suitable for college-level mathematics.

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