La serie que describes parece ser una serie infinita que involucra fracciones de potencias decrecientes de $10$. Si queremos representarla de manera general y calcular su suma, primero analizamos su forma general.

Forma general de la serie

$S = 1 + \frac{4}{10} + \left(\frac{9}{10}\right)^2 + \left(\frac{5}{10}\right)^3 + \left(\frac{4}{10}\right)^4 + \left(\frac{9}{10}\right)^5 + \left(\frac{5}{10}\right)^6 + \left(\frac{4}{10}\right)^7 + \left(\frac{9}{10}\right)^8 + \left(\frac{5}{10}\right)^9 + \dots$

La serie consiste en términos alternantes en el numerador y potencias de $10$ en el denominador. Si identificamos un patrón, podemos expresar esta serie en términos de sumas parciales o resolverla como una suma infinita si converge.

Paso 1: Identificar los términos

Los coeficientes de cada término parecen seguir un patrón cíclico:

• $4, 9, 5, 4, 9, 5, \dots$ en el numerador.
• $\frac{1}{10^n}$ en el denominador, donde $n$ aumenta.

Paso 2: Escribir la serie en términos matemáticos

La serie puede representarse como: $S = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n},$ donde $a_n$ es una secuencia periódica con valores $4, 9, 5$.

Resolviendo la serie

Para calcular la suma infinita, podemos dividir el problema en partes dependiendo del periodo del numerador $a_n$:

• $a_n = \{4, 9, 5\}$ con periodo $3$.

Entonces, calculamos:

1. Las sumas de los términos con $4/10^n$,
2. Los términos con $9/10^n$,
3. Los términos con $5/10^n$.

Usando la fórmula de la suma geométrica: $\sum_{n=0}^\infty \frac{x}{10^n} = \frac{x}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10x}{9},$ podemos separar cada componente y obtener la suma total.

¿Te interesa que calculemos esta serie paso a paso?