El texto describe una suma infinita que parece seguir un patrón regular con fracciones cuyo numerador y denominador se relacionan por potencias de 10. El resultado sería la expresión:

$\frac{2}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{6}{10^3} + \frac{2}{10^4} + \frac{3}{10^5} + \frac{6}{10^6} + \frac{2}{10^7} + \frac{3}{10^8} + \frac{6}{10^9} + \dots$

Análisis

Observemos:

1. Los denominadores son potencias de $10$.
2. Los numeradores alternan en un patrón cíclico: $2, 3, 6$.

Reescribiendo la suma

Agrupemos las fracciones basándonos en este patrón cíclico de $2, 3, 6$:

$S = \frac{2}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{6}{10^3} + \frac{2}{10^4} + \frac{3}{10^5} + \frac{6}{10^6} + \dots$

Esto se puede expresar como: $S = \left(\frac{2}{10} + \frac{2}{10^4} + \frac{2}{10^7} + \dots\right) + \left(\frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^5} + \frac{3}{10^8} + \dots\right) + \left(\frac{6}{10^3} + \frac{6}{10^6} + \frac{6}{10^9} + \dots\right).$

Cada grupo es una serie geométrica infinita.

Resolviendo las series geométricas

La fórmula para una serie geométrica infinita es: $\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r},$ donde $a$ es el primer término y $r$ la razón común.

1. Primera serie ($\frac{2}{10}, \frac{2}{10^4}, \frac{2}{10^7}, \dots$): $a = \frac{2}{10}, \quad r = \frac{1}{10^3}.$ Entonces: $\text{Suma} = \frac{\frac{2}{10}}{1 - \frac{1}{10^3}} = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{999}{1000}} = \frac{2}{10} \cdot \frac{1000}{999} = \frac{200}{999}.$

2. Segunda serie ($\frac{3}{10^2}, \frac{3}{10^5}, \frac{3}{10^8}, \dots$): $a = \frac{3}{10^2}, \quad r = \frac{1}{10^3}.$ Entonces: $\text{Suma} = \frac{\frac{3}{10^2}}{1 - \frac{1}{10^3}} = \frac{\frac{3}{100}}{\frac{999}{1000}} = \frac{3}{100} \cdot \frac{1000}{999} = \frac{300}{99900} = \frac{300}{999}.$

3. Tercera serie ($\frac{6}{10^3}, \frac{6}{10^6}, \frac{6}{10^9}, \dots$): $a = \frac{6}{10^3}, \quad r = \frac{1}{10^3}.$ Entonces: $\text{Suma} = \frac{\frac{6}{10^3}}{1 - \frac{1}{10^3}} = \frac{\frac{6}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{6}{1000} \cdot \frac{1000}{999} = \frac{600}{999}.$

Sumando todo

La suma total $S$ es: $S = \frac{200}{999} + \frac{300}{999} + \frac{600}{999} = \frac{200 + 300 + 600}{999} = \frac{1100}{999}.$

Simplificando: $S = \frac{1100}{999} = \frac{100}{91}.$

Resultado final

La suma de la serie es: $S = \frac{100}{91}.$

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¿Quieres que explique algún paso con más detalle o explore variaciones?

Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se desarrolla la fórmula de una serie geométrica infinita?
2. ¿Por qué se considera válida la suma infinita en este caso?
3. ¿Qué otros patrones cíclicos pueden representarse con series similares?
4. ¿Cómo se simplifica la fracción $\frac{1100}{999}$?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen estas series geométricas?

Tip

La clave para trabajar con series geométricas es identificar correctamente el término inicial y la razón común antes de aplicar la fórmula.