Votre question traite d'une expression impliquant des inégalités liées à des valeurs absolues et des fonctions quadratiques. Vous mentionnez deux conditions:

1. $|x| < 1$
2. $|a| < 1$

Vous voulez savoir si cela entraîne directement que $|ax^2 + x - a| < \frac{5}{4}$.

Analysons cette affirmation.

Hypothèses:

• $|x| < 1$ signifie que $x$ se situe dans l'intervalle $(-1, 1)$.
• $|a| < 1$ signifie que $a$ se situe dans l'intervalle $(-1, 1)$.

Étude de l'expression $ax^2 + x - a$:

L'expression est une fonction quadratique en $x$. Nous devons examiner si, sous les hypothèses données, on peut démontrer que $|ax^2 + x - a| < \frac{5}{4}$.

Étape 1: Bornes de $ax^2 + x - a$

Examinons chaque terme individuellement en utilisant les bornes $|x| < 1$ et $|a| < 1$:

1. $|ax^2| = |a||x^2|$. Étant donné que $|x^2| \leq 1$ et $|a| < 1$, on en déduit que $|ax^2| < 1$.

2. $|x| < 1$, donc $|x| < 1$.

3. $|-a| = |a| < 1$.

Étape 2: Somme des bornes

La somme des termes en utilisant les valeurs maximales est :

$|ax^2 + x - a| \leq |ax^2| + |x| + |a| < 1 + 1 + 1 = 3$

Donc, dans tous les cas, $|ax^2 + x - a|$ est majoré par 3.

Étape 3: Vérification de la condition $|ax^2 + x - a| < \frac{5}{4}$

Pour que $|ax^2 + x - a|$ soit inférieur à $\frac{5}{4}$, il faudrait que l'addition des termes soit inférieure à cette valeur.

Cependant, en procédant à la somme des bornes maximales, nous trouvons que $|ax^2 + x - a|$ peut atteindre des valeurs plus grandes (jusqu'à 3), ce qui signifie que la condition $|ax^2 + x - a| < \frac{5}{4}$ n'est pas toujours vérifiée sous les seules hypothèses $|x| < 1$ et $|a| < 1$.

Conclusion:

L'affirmation n'est pas correcte dans tous les cas. Bien que $|x| < 1$ et $|a| < 1$ imposent certaines restrictions sur $ax^2 + x - a$, elles ne garantissent pas que $|ax^2 + x - a|$ soit toujours inférieur à $\frac{5}{4}$.

Voulez-vous plus de détails ou des explications supplémentaires ?

Voici 5 questions connexes pour approfondir :

1. Comment calcule-t-on les valeurs maximales d'une fonction quadratique sur un intervalle donné ?
2. Quelle est l'influence de la valeur de $a$ sur l'amplitude de $ax^2 + x - a$ ?
3. Quelles techniques permettent de résoudre des inégalités impliquant des valeurs absolues ?
4. Est-il possible de déterminer les valeurs de $a$ et $x$ qui rendent $|ax^2 + x - a| = \frac{5}{4}$ exact ?
5. Comment généraliser ce type d'inégalité pour des bornes différentes de $|x| < 1$ et $|a| < 1$ ?

Tip: Pour résoudre les inégalités avec des valeurs absolues, il est souvent utile de considérer séparément les cas où l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est positive ou négative.