Рассмотрим неравенство:
$5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a| \leq \sqrt{4 - y^2} + 7$

Чтобы найти все значения $a$, при которых существует решение этого неравенства, необходимо проанализировать его свойства.

---

Шаги решения:

1. Область определения: $\sqrt{4 - y^2} \text{ определено, если } -2 \leq y \leq 2.$ Значит, $y$ лежит в интервале $[-2, 2]$.

2. Анализ функции $\sqrt{4 - y^2}$:
   $\sqrt{4 - y^2} \text{ принимает значения от } 0 \text{ до } 2.$ Следовательно, правая часть неравенства лежит в интервале $[7, 9]$: $7 \leq \sqrt{4 - y^2} + 7 \leq 9.$

3. Оценка левой части: $5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a|.$ Это линейная кусочно-заданная функция, которая всегда неотрицательна.

4. Необходимое условие существования решения:
   Для того чтобы неравенство было выполняемо, максимум левой части неравенства должен быть меньше либо равен максимуму правой части ($9$).

5. Анализ $5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a|$:

   • Минимальное значение $5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a|$ достигается, когда $x = 2$ и $x = -a$ одновременно.
   • Максимальное значение зависит от $a$ и выбора $x$ так, чтобы обе абсолютные величины максимально увеличились.

---

Условие на $a$:

Максимум выражения $5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a|$ при всех $x \in \mathbb{R}$ должен удовлетворять: $5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a| \leq 9.$

1. При $x = 2$: $5 \cdot |2 - 2| + 3 \cdot |2 + a| = 3 \cdot |a + 2| \leq 9$. $|a + 2| \leq 3 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq a + 2 \leq 3 \quad \Rightarrow \quad -5 \leq a \leq 1.$

2. Проверка краевых точек для максимума: Если $x = -a$, то $5 \cdot |x - 2| + 3 \cdot |x + a|$ также остается в пределах интервала $[-5, 1]$.

---

Ответ:

Для всех значений параметра $a \in [-5, 1]$ существует хотя бы одно решение данного неравенства.

---

Хотите разобрать шаги подробнее или задать уточняющие вопросы?

Вопросы для расширения:

1. Как влияет ограничение на $y$ на общий вид решения?
2. Какие типы функций можно рассматривать вместо абсолютных значений?
3. Почему необходимо анализировать обе стороны неравенства?
4. Как интерпретировать результат, если $a$ выходит за пределы $[-5, 1]$?
5. Как исследовать зависимость решений от конкретных значений $a$?

Совет:

При работе с неравенствами, содержащими модули, всегда важно исследовать возможные случаи для каждой точки, где выражения внутри модулей обращаются