Du möchtest eine Induktionsaufgabe mit der Summe

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = n^2$

beweisen? Es sieht so aus, als ob hier eine vollständige Induktion gefragt ist. Wir führen den Beweis Schritt für Schritt durch.

Induktionsbeweis

Wir beweisen die Aussage für alle $n \in \mathbb{N}$ per vollständiger Induktion.

1. Induktionsanfang:
Für $n = 1$ gilt:

$\sum_{k=1}^{1-1} (2k - 1) = 0$

Die rechte Seite der Gleichung ist $1^2 = 1$. Das passt hier nicht, daher nehme ich an, dass du eventuell die Formel

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$

meinst? Dann überprüfen wir für $n = 1$:

$\sum_{k=1}^{1} (2k - 1) = 2(1) - 1 = 1$

und die rechte Seite ist ebenfalls $1^2 = 1$. Also stimmt die Aussage für $n = 1$.

2. Induktionsannahme:
Wir nehmen an, dass die Formel für ein beliebiges $n \in \mathbb{N}$ gilt:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2.$

3. Induktionsschritt:
Wir müssen zeigen, dass die Aussage auch für $n+1$ gilt, also:

$\sum_{k=1}^{n+1} (2k - 1) = (n+1)^2.$

Nach der Induktionsannahme wissen wir:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2.$

Jetzt addieren wir das nächste Glied $2(n+1) - 1$ dazu:

$\sum_{k=1}^{n+1} (2k - 1) = n^2 + (2(n+1) - 1).$

Rechnen wir aus:

$n^2 + (2n + 2 - 1) = n^2 + 2n + 1.$

Da gilt:

$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1,$

sehen wir, dass die Aussage für $n+1$ stimmt. Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen.

Fazit:

Die Formel

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$

gilt für alle natürlichen Zahlen $n$.

Hast du Fragen oder möchtest du eine detailliertere Erklärung zu einem Schritt?

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Hier sind 5 weiterführende Fragen:

1. Wie kann man Induktion auf andere Summenformeln anwenden?
2. Welche Bedeutung hat die Formel $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$ in der Geometrie?
3. Kann man den Induktionsbeweis auch rückwärts argumentieren?
4. Wie kann man Summen mit anderen Potenzen von $k$ beweisen?
5. Was ist eine alternative Methode, diese Formel ohne Induktion herzuleiten?

Tipp:
Falls du dich mit Induktion unsicher fühlst, versuche zuerst einfache Beispiele von $n$ durchzurechnen, um ein Gefühl für das Muster zu bekommen.