Queremos probar inductivamente la desigualdad:

$P^K > P \cdot K + 1$

donde $P$ es un número primo y $K$ es un número natural mayor que 3.

Paso 1: Base de la inducción

Comenzamos verificando el caso base para $K = 4$, ya que el enunciado establece que $K > 3$.

Para $K = 4$, la desigualdad se convierte en:

$P^4 > P \cdot 4 + 1$

Reescribimos la desigualdad:

$P^4 > 4P + 1$

Ahora probamos con el primer número primo, $P = 2$:

$2^4 = 16 \quad \text{y} \quad 4 \cdot 2 + 1 = 9$

Vemos que $16 > 9$, por lo que la desigualdad se cumple cuando $P = 2$ y $K = 4$.

Probamos ahora con $P = 3$:

$3^4 = 81 \quad \text{y} \quad 4 \cdot 3 + 1 = 13$

Aquí también $81 > 13$, por lo que la desigualdad se cumple para $P = 3$ y $K = 4$.

Así que la base de la inducción se verifica para $K = 4$.

Paso 2: Paso inductivo

Ahora supongamos que la desigualdad se cumple para algún $K = n$, es decir, suponemos que:

$P^n > P \cdot n + 1$

Queremos probar que se cumple para $K = n + 1$. Es decir, debemos probar que:

$P^{n+1} > P \cdot (n+1) + 1$

Usamos la hipótesis inductiva, $P^n > P \cdot n + 1$, para obtener:

$P^{n+1} = P \cdot P^n > P \cdot (P \cdot n + P)$

Es decir:

$P^{n+1} > P^2 \cdot n + P^2$

Ahora, debemos demostrar que:

$P^2 \cdot n + P^2 > P \cdot (n+1) + 1$

Reescribimos la desigualdad:

$P^2 \cdot n + P^2 > P \cdot n + P + 1$

Simplificamos y agrupamos términos:

$P^2 \cdot n + P^2 - P \cdot n - P > 1$

Factorizamos $n$ y los términos comunes:

$n \cdot (P^2 - P) + P^2 - P > 1$

Para $P \geq 2$, podemos ver que los términos $n \cdot (P^2 - P)$ y $P^2 - P$ son siempre mayores que 1 cuando $n \geq 4$. Así que la desigualdad se cumple.

Por lo tanto, hemos demostrado que si la desigualdad es cierta para $K = n$, entonces también es cierta para $K = n+1$.

Conclusión

Por el principio de inducción matemática, hemos demostrado que la desigualdad:

$P^K > P \cdot K + 1$

es cierta para todo $K \geq 4$ y $P$ primo.

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¿Te gustaría ver más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional sobre este proceso?

Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo usarías la inducción para probar otras desigualdades con números primos?
2. ¿Qué cambios harías en este procedimiento si $P$ no fuera primo?
3. ¿Cómo demostrarías que esta desigualdad es verdadera para $K = 5$ de manera explícita?
4. ¿Por qué la elección de la base de inducción $K = 4$ es adecuada?
5. ¿Cuál es la relación entre la desigualdad $P^K > P \cdot K + 1$ y el crecimiento de las funciones exponenciales frente a las funciones lineales?

Tip: Siempre que hagas una inducción matemática, es clave verificar primero la base de la inducción para asegurarte de que la propiedad sea válida en el caso inicial antes de proceder con el paso inductivo.