Para resolver este problema, vamos a aplicar la Ley de Faraday y considerar que la corriente en el cable largo y recto genera un campo magnético variable en el tiempo que inducirá una FEM en el bucle rectangular.

1. Determinar el Campo Magnético alrededor del Cable

Para un cable largo y recto con corriente variable $I = I_0 \cos(\omega t)$, el campo magnético a una distancia $r$ del cable se calcula con la Ley de Ampère:

$B(r, t) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I_0 \cos(\omega t)}{2 \pi r}$

donde:

• $\mu_0$ es la permeabilidad del vacío,
• $I_0$ es la corriente máxima,
• $\omega$ es la frecuencia angular de la corriente.

2. Flujo Magnético en el Bucle Rectangular

El flujo magnético $\Phi$ a través del área $A$ del bucle rectangular es:

$\Phi = \int B \, dA$

Si suponemos que el bucle está orientado con uno de sus lados a una distancia $d$ del cable y que la distancia entre el cable y cualquier punto del bucle rectangular es aproximadamente constante, podemos simplificar la expresión del flujo:

$\Phi(t) = B(d, t) \cdot A = \frac{\mu_0 I_0 \cos(\omega t)}{2 \pi d} \cdot A$

donde $A$ es el área del bucle rectangular.

3. FEM Inducida

La FEM inducida $\mathcal{E}$ en el bucle se obtiene derivando el flujo magnético con respecto al tiempo, de acuerdo con la Ley de Faraday:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$

$\mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 I_0 \cos(\omega t)}{2 \pi d} \cdot A \right)$

Dado que $A$ y $d$ son constantes, solo necesitamos derivar con respecto al tiempo la función coseno de la corriente:

$\mathcal{E} = -\frac{\mu_0 I_0 A}{2 \pi d} \cdot (-\sin(\omega t)) \cdot \omega$

Simplificando:

$\mathcal{E} = \frac{\mu_0 I_0 \omega A}{2 \pi d} \sin(\omega t)$

4. Corriente Inducida en el Bucle

La corriente inducida $I_{\text{ind}}$ en el bucle debido a la FEM es:

$I_{\text{ind}} = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{\mu_0 I_0 \omega A}{2 \pi d R} \sin(\omega t)$

5. Sentido de la FEM para $0 < t < T/4$

En el intervalo $0 < t < T/4$, donde $\sin(\omega t)$ es positiva, la FEM será positiva. Esto significa que, según la regla de la mano derecha, la corriente inducida tenderá a oponerse al cambio de la corriente en el cable (principio de Lenz). Por lo tanto, la dirección de la corriente inducida será tal que generará un campo magnético opuesto al del cable en esta porción de tiempo.

¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes cinco preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se afecta el campo magnético inducido por cambios en la distancia entre el cable y el bucle?
2. ¿Cómo influye la frecuencia angular $\omega$ en la magnitud de la corriente inducida?
3. ¿Qué ocurre con la FEM inducida si el área del bucle aumenta?
4. ¿Cómo se derivaría esta expresión si el cable no fuera recto?
5. ¿Cuál sería el efecto si la resistencia $R$ fuera muy pequeña?

Tip: Al analizar fenómenos de inducción, usar la Ley de Lenz para predecir la dirección de la corriente inducida facilita entender cómo el sistema responde al cambio en el flujo magnético.