Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah matematika diskrit,71 kalkulus perubah banyak dan 56 geometri.diantaranya,25 mahasiswa mengambil matematika diskrit dan kalkulus perubah banyak,14 matematika diskrit dan geometri.serta 9 orang mengambil kalkulus perubah banyak dan geometri.jika 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut,berapa orang yang mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan prinsip **himpunan** dan **rumus inklusi-eksklusi**. Kita memiliki tiga himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah sebagai berikut:

- \( D \) = mahasiswa yang mengambil **matematika diskrit** = 115
- \( C \) = mahasiswa yang mengambil **kalkulus perubah banyak** = 71
- \( G \) = mahasiswa yang mengambil **geometri** = 56

Kemudian, diberikan juga informasi mengenai interseksi antara himpunan-himpunan tersebut:

- \( D \cap C \) = mahasiswa yang mengambil **matematika diskrit dan kalkulus perubah banyak** = 25
- \( D \cap G \) = mahasiswa yang mengambil **matematika diskrit dan geometri** = 14
- \( C \cap G \) = mahasiswa yang mengambil **kalkulus perubah banyak dan geometri** = 9

Selain itu, ada 196 mahasiswa yang mengambil **paling sedikit satu** dari ketiga mata kuliah tersebut, sehingga totalnya adalah:

\[
|D \cup C \cup G| = 196
\]

Kita diminta mencari berapa mahasiswa yang mengambil **ketiga mata kuliah sekaligus** (\( x \)).

Untuk menyelesaikan ini, kita gunakan **rumus inklusi-eksklusi**:

\[
|D \cup C \cup G| = |D| + |C| + |G| - |D \cap C| - |D \cap G| - |C \cap G| + |D \cap C \cap G|
\]

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

\[
196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + x
\]

Sederhanakan persamaan:

\[
196 = 242 - 48 + x
\]

\[
196 = 194 + x
\]

Maka:

\[
x = 196 - 194
\]

\[
x = 2
\]

Jadi, **2 mahasiswa** mengambil ketiga mata kuliah sekaligus.

### Apakah penjelasan ini sudah jelas? Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

#### Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa memperdalam pemahaman:
1. Bagaimana cara memodifikasi rumus jika ada mahasiswa yang tidak mengambil mata kuliah apapun?
2. Jika ada data tambahan tentang jumlah mahasiswa yang hanya mengambil satu mata kuliah, bagaimana ini mempengaruhi perhitungan?
3. Apakah rumus inklusi-eksklusi bisa digunakan untuk lebih dari tiga himpunan? Jika ya, bagaimana bentuknya?
4. Bagaimana menentukan jumlah mahasiswa yang mengambil tepat dua mata kuliah?
5. Bagaimana cara memvisualisasikan masalah ini dengan diagram Venn?

#### Tip:
Inklusi-eksklusi adalah teknik yang sangat berguna untuk menghitung ukuran gabungan beberapa himpunan dengan mempertimbangkan interseksi di antaranya.

This problem uses set theory and the inclusion-exclusion principle to calculate how many students are taking all three courses: discrete mathematics, multivariable calculus, and geometry. With detailed steps and formulas, this example is ideal for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation