Um die implizite Funktion abzuleiten und nach $y'(x)$ aufzulösen, gehen wir schrittweise vor.

Die implizite Funktion ist: $0 = 4 \cdot y^5 \cdot \ln(3y) + 7 \cdot x \cdot \ln(2x).$

Schritt 1: Ableiten beider Seiten nach $x$

Da $y$ von $x$ abhängt ($y = y(x)$), wenden wir die Kettenregel an, wenn $y$ vorkommt.

Die linke Seite bleibt 0: $\frac{d}{dx}[0] = 0.$

Die rechte Seite leiten wir auf. Zuerst betrachten wir die Terme getrennt.

(a) Ableitung von $4 \cdot y^5 \cdot \ln(3y)$:

$\frac{d}{dx} \left( 4 \cdot y^5 \cdot \ln(3y) \right).$ Hier wenden wir das Produktregel an, mit den Faktoren $4 \cdot y^5$ und $\ln(3y)$.

1. Ableitung von $4 \cdot y^5$:
   $\frac{d}{dx}(4 \cdot y^5) = 20 \cdot y^4 \cdot y'(x).$

2. Ableitung von $\ln(3y)$:
   $\frac{d}{dx}(\ln(3y)) = \frac{1}{3y} \cdot 3 \cdot y'(x) = \frac{y'(x)}{y}.$

Produktregel anwenden: $\frac{d}{dx} \left( 4 \cdot y^5 \cdot \ln(3y) \right) = 4 \cdot y^5 \cdot \frac{y'(x)}{y} + 20 \cdot y^4 \cdot \ln(3y) \cdot y'(x).$

(b) Ableitung von $7 \cdot x \cdot \ln(2x)$:

Hier wenden wir erneut die Produktregel an, mit den Faktoren $7x$ und $\ln(2x)$.

1. Ableitung von $7x$:
   $\frac{d}{dx}(7x) = 7.$

2. Ableitung von $\ln(2x)$:
   $\frac{d}{dx}(\ln(2x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}.$

Produktregel anwenden: $\frac{d}{dx} \left( 7 \cdot x \cdot \ln(2x) \right) = 7 \cdot \ln(2x) + 7 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 7 \cdot \ln(2x) + 7.$

Schritt 2: Zusammenfassung der Ableitungen

Setzen wir die Ableitungen zusammen: $0 = \left( 4 \cdot y^5 \cdot \frac{y'(x)}{y} + 20 \cdot y^4 \cdot \ln(3y) \cdot y'(x) \right) + \left( 7 \cdot \ln(2x) + 7 \right).$

Schritt 3: $y'(x)$ isolieren

Fassen wir die Terme mit $y'(x)$ zusammen: $0 = y'(x) \left( 4 \cdot y^4 + 20 \cdot y^4 \cdot \ln(3y) \right) + 7 \cdot \ln(2x) + 7.$

Rechne weiter: $0 = y'(x) \cdot 4 \cdot y^4 \cdot \left( 1 + 5 \ln(3y) \right) + 7 \cdot \ln(2x) + 7.$

Löse nach $y'(x)$ auf: $y'(x) = -\frac{7 \cdot \ln(2x) + 7}{4 \cdot y^4 \cdot \left( 1 + 5 \ln(3y) \right)}.$

Endergebnis:

$y'(x) = -\frac{7 \cdot \ln(2x) + 7}{4 \cdot y^4 \cdot \left( 1 + 5 \ln(3y) \right)}.$

Möchten Sie Details zu den Ableitungsschritten oder eine Visualisierung der Funktion?

Vertiefende Fragen:

1. Möchten Sie die einzelnen Schritte mit Beispielen genauer erläutert bekommen?
2. Sollen alternative Ableitungsmethoden betrachtet werden?
3. Benötigen Sie eine Erläuterung der Produktregel oder Kettenregel?
4. Interessieren Sie sich für die Bedeutung des Ergebnisses in einem physikalischen Kontext?
5. Möchten Sie die Funktion graphisch darstellen?

Tipp:

Beim Ableiten impliziter Funktionen hilft es, die Kettenregel konsequent anzuwenden und systematisch Terme zu isolieren.