 En justifiant dire si l’assertion suivante est vraie ou fausse et donner sa n´egation :
∀(x, y) ∈ R
−∗ × R
−∗
, (x < y) ⇒

1
x
2
<
1
y
2

.

L'assertion donnée est la suivante :

\[
\forall (x, y) \in \mathbb{R}_{-}^* \times \mathbb{R}_{-}^*, (x < y) \implies \left( \frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2} \right)
\]

Nous allons analyser cette assertion et déterminer si elle est vraie ou fausse, puis donner sa négation.

### 1. Domaine de définition

Les quantificateurs indiquent que \( x \) et \( y \) appartiennent à \( \mathbb{R}_{-}^* \), ce qui signifie qu'ils sont des nombres réels négatifs non nuls.

### 2. Analyse de l'implication

L'implication \( (x < y) \implies \left( \frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2} \right) \) dit que si \( x \) est inférieur à \( y \), alors \( \frac{1}{x^2} \) est inférieur à \( \frac{1}{y^2} \). Analysons cela étape par étape.

#### a. Propriétés des carrés des nombres négatifs

Pour \( x \) et \( y \) dans \( \mathbb{R}_{-}^* \), on sait que le carré d'un nombre négatif est toujours positif, et plus un nombre est petit en valeur absolue, plus son carré est petit :

- Si \( x < y \) (avec \( x \) et \( y \) tous deux négatifs), alors \( |x| > |y| \) (la valeur absolue de \( x \) est plus grande que celle de \( y \)).
- Donc, \( x^2 > y^2 \).

#### b. Inverses des carrés

Lorsque nous prenons l'inverse de ces carrés :

- Si \( x^2 > y^2 \), alors \( \frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2} \), car l'inverse d'un nombre plus grand est plus petit.

Ainsi, l'implication est vraie. Si \( x < y \), alors \( \frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2} \).

### 3. Conclusion

L'assertion est donc **vraie**.

### 4. Négation de l'assertion

La négation de l'assertion donnée serait :

\[
\exists (x, y) \in \mathbb{R}_{-}^* \times \mathbb{R}_{-}^*, (x < y) \land \left( \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{y^2} \right)
\]

Cela signifie qu'il existe au moins un couple \( (x, y) \) dans \( \mathbb{R}_{-}^* \times \mathbb{R}_{-}^* \) tel que \( x < y \), mais \( \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{y^2} \).

### Questions relatives

1. Pourquoi \( x^2 > y^2 \) lorsque \( x < y \) dans \( \mathbb{R}_{-}^* \) ?
2. Quelle est la propriété des inverses lorsque l'on compare deux nombres positifs ?
3. Comment la négation d'une implication se formule-t-elle en logique mathématique ?
4. Comment les carrés et les inverses interagissent-ils pour les nombres réels positifs et négatifs ?
5. Quel est le rôle du domaine \( \mathbb{R}_{-}^* \) dans cette assertion ?

### Conseil

Lorsque vous travaillez avec des implications, pensez toujours à vérifier les propriétés des opérations impliquées (ici les carrés et les inverses) pour des ensembles spécifiques (comme \( \mathbb{R}_{-}^* \)).

En justifiant dire si l’assertion suivante est vraie ou fausse et donner sa négation : ∀(x, y) ∈ R−∗ × R−∗, (x < y) ⇒ 1/x² < 1/y².

This problem explores the validity of an implication involving negative real numbers. Analyze whether the assertion ∀(x, y) ∈ R−∗ × R−∗, (x < y) ⇒ 1/x² < 1/y² is true or false and learn how to express its negation. Ideal for undergraduate mathematics students.

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