L'assertion donnée est la suivante :

$\forall (x, y) \in \mathbb{R}_{-}^* \times \mathbb{R}_{-}^*, (x < y) \implies \left( \frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2} \right)$

Nous allons analyser cette assertion et déterminer si elle est vraie ou fausse, puis donner sa négation.

1. Domaine de définition

Les quantificateurs indiquent que $x$ et $y$ appartiennent à $\mathbb{R}_{-}^*$, ce qui signifie qu'ils sont des nombres réels négatifs non nuls.

2. Analyse de l'implication

L'implication $(x < y) \implies \left( \frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2} \right)$ dit que si $x$ est inférieur à $y$, alors $\frac{1}{x^2}$ est inférieur à $\frac{1}{y^2}$. Analysons cela étape par étape.

a. Propriétés des carrés des nombres négatifs

Pour $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}_{-}^*$, on sait que le carré d'un nombre négatif est toujours positif, et plus un nombre est petit en valeur absolue, plus son carré est petit :

• Si $x < y$ (avec $x$ et $y$ tous deux négatifs), alors $|x| > |y|$ (la valeur absolue de $x$ est plus grande que celle de $y$).
• Donc, $x^2 > y^2$.

b. Inverses des carrés

Lorsque nous prenons l'inverse de ces carrés :

• Si $x^2 > y^2$, alors $\frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2}$, car l'inverse d'un nombre plus grand est plus petit.

Ainsi, l'implication est vraie. Si $x < y$, alors $\frac{1}{x^2} < \frac{1}{y^2}$.

3. Conclusion

L'assertion est donc vraie.

4. Négation de l'assertion

La négation de l'assertion donnée serait :

$\exists (x, y) \in \mathbb{R}_{-}^* \times \mathbb{R}_{-}^*, (x < y) \land \left( \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{y^2} \right)$

Cela signifie qu'il existe au moins un couple $(x, y)$ dans $\mathbb{R}_{-}^* \times \mathbb{R}_{-}^*$ tel que $x < y$, mais $\frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{y^2}$.

Questions relatives

1. Pourquoi $x^2 > y^2$ lorsque $x < y$ dans $\mathbb{R}_{-}^*$ ?
2. Quelle est la propriété des inverses lorsque l'on compare deux nombres positifs ?
3. Comment la négation d'une implication se formule-t-elle en logique mathématique ?
4. Comment les carrés et les inverses interagissent-ils pour les nombres réels positifs et négatifs ?
5. Quel est le rôle du domaine $\mathbb{R}_{-}^*$ dans cette assertion ?

Conseil

Lorsque vous travaillez avec des implications, pensez toujours à vérifier les propriétés des opérations impliquées (ici les carrés et les inverses) pour des ensembles spécifiques (comme $\mathbb{R}_{-}^*$).