Ας λύσουμε την άσκηση βήμα-βήμα:

Δεδομένα:

Η άσκηση βασίζεται στο πρότυπο IEEE 754 (Double Precision). Το πρότυπο αυτό έχει τα εξής χαρακτηριστικά:

• Πρόσημο (1 bit): Δείχνει αν ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός.
• Εκθέτης (11 bits): Αντιπροσωπεύει την τιμή του εκθέτη με μετατόπιση κατά 1023 (bias).
• Mantissa (Significand) (52 bits): Το κλασματικό μέρος.

Η μορφή των αριθμών είναι: $\pm 1.x_1x_2x_3 \ldots x_{52} \times 2^{(y_1y_2 \ldots y_{11}) - 1023}$

Ερώτημα 1:

Πλήθος αριθμών μηχανής στο διάστημα $[2, 4]$ και πλησιέστερος αριθμός μηχανής στο $8$.

Λύση:

1. Πλήθος αριθμών μηχανής:

   Σύμφωνα με το πρότυπο:

   • Οι αριθμοί στο διάστημα $[2, 4]$ αντιστοιχούν σε εκθέτη $e = 1$ (δηλαδή, $2^1 \leq x < 2^2$).
   • Η mantissa είναι $1.x_1x_2x_3\ldots x_{52}$, όπου τα $52$ bits δίνουν $2^{52}$ μοναδικούς συνδυασμούς.

   Άρα, το πλήθος των αριθμών μηχανής στο $[2, 4]$ είναι: $2^{52}$

2. Πλησιέστερος αριθμός μηχανής στο $8$:

   Το $8$ ανήκει στο διάστημα $[4, 8]$, άρα αντιστοιχεί σε εκθέτη $e = 3$ (δηλαδή $2^3$). Ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής εξαρτάται από την ελάχιστη διαφορά που μπορεί να δημιουργήσει η mantissa.

   Ελάχιστη διαφορά: $\text{Διαφορά} = 2^{e - 52} = 2^{3 - 52} = 2^{-49}$

   Επομένως, ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής στο $8$ είναι: $8 \pm 2^{-49}$

Ερώτημα 2:

Μπορεί ο αριθμός $x = 20.1$ να παρασταθεί ακριβώς στο σύστημα; Αν όχι, ποιος αριθμός μηχανής τον προσεγγίζει;

Λύση:

1. Εύρεση της αναπαράστασης: Ο αριθμός $20.1$ γράφεται ως: $20.1 = 1.25625 \times 2^4$ όπου:

   • Εκθέτης: $e = 4 + 1023 = 1027$
   • Mantissa: $1.25625 - 1 = 0.25625$

   Πρέπει να ελέγξουμε αν το $0.25625$ μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια στα $52$ bits.

2. Ακρίβεια Mantissa: Η mantissa έχει περιορισμό $52$ bits, συνεπώς δεν είναι δυνατή η ακριβής αναπαράσταση κάθε δεκαδικού αριθμού. Εδώ, το $20.1$ δεν μπορεί να παρασταθεί ακριβώς.

3. Πλησιέστερος αριθμός: Αν το σύστημα ακολουθεί στρογγυλοποίηση προς τον πλησιέστερο αριθμό μηχανής, πρέπει να βρούμε τη δυαδική αναπαράσταση του $20.1$ με $52$ bits και να υπολογίσουμε τον κοντινότερο αριθμό.

Ερώτημα 3:

Να βρεθεί το αποτέλεσμα:

$2 + \left( 2^{-51} + 2^{-52} \right) - 2$

Λύση:

1. Υπολογίζουμε το εσωτερικό: $2^{-51} + 2^{-52}$ Γνωρίζουμε ότι: $2^{-52} = \frac{1}{2} \cdot 2^{-51}$ Άρα: $2^{-51} + 2^{-52} = 2^{-51} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 2^{-51} \cdot \frac{3}{2}$

2. Υπολογίζουμε το συνολικό αποτέλεσμα: $2 + \left( 2^{-51} + 2^{-52} \right) - 2 = 2^{-51} \cdot \frac{3}{2}$

   Τελικό αποτέλεσμα: $\frac{3}{2} \cdot 2^{-51} = 3 \cdot 2^{-52}$

Απαντήσεις:

1. Το πλήθος των αριθμών μηχανής στο $[2, 4]$ είναι $2^{52}$. Ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής στο $8$ είναι $8 \pm 2^{-49}$.
2. Ο αριθμός $20.1$ δεν μπορεί να παρασταθεί ακριβώς. Ο πλησιέστερος αριθμός εξαρτάται από τη στρογγυλοποίηση.
3. Το αποτέλεσμα είναι: $3 \cdot 2^{-52}$

Έχετε απορίες ή θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες;

1. Πώς βρίσκουμε τη δυαδική αναπαράσταση ενός αριθμού;
2. Τι είναι το bias στους εκθέτες του IEEE 754;
3. Πώς λειτουργεί η στρογγυλοποίηση στο πρότυπο IEEE 754;
4. Τι είναι η mantissa και ποιος είναι ο ρόλος της;
5. Πώς επηρεάζει η ακρίβεια των 52 bits την προσέγγιση αριθμών;

Tip: Χρησιμοποιήστε προσομοιώσεις για τον υπολογισμό κοντινών αριθμών μηχανής στο IEEE 754.